terça-feira, 4 de junho de 2013

Exercícios resolvidos de Estatística (Distribuição Normal / t de Student)



    1.  O gerente do controlo aéreo do aeroporto de São Paulo está interessado em conhecer o tempo de aterrissagem dos aviões modernos 737, medindo esse tempo entre o instante em que o piloto inicia a operação de descida e o instante em que o avião abandona a pista principal.
Se uma amostra aleatória de 33 aviões tem média igual a 21 minutos e desvio padrão = 4,5 minutos, quais as médias da população, considerando o I.C = 90% e I.C = 95%.

Solução
n = 33 > 30 => distribuição normal (Zα/2)
X = 21
Sx = 4,5 como σx é desconhecido; neste caso vamos assumir que Sx = σx, pois que não nos é possivel usar a distribuição de t de Student neste caso.
I.C1 = 90%
I.C2 = 95%
μx = ?

Fórmula
          
μx = X ± Zα/2* σx/√n

Para I.C1 = 90% teremos

μx = 21 ± 1,645*4,5/√33
μx = 21±1,645*0,783
μx =21±1,289
μx = [ 19,71  ; 22,29]

Para I.C2 = 95% teremos

μx = 21 ± 1,960*0,783
μx = 21 ± 1,535

μx = [19,47; 22,54]


2.      Depois de entrevistar 16 gerentes júniores de uma grande empresa com centenas de  profissionais desse cargo, o analista de salários de uma empresa de recrutamento obteve a  média de salários anuais iguais a $ 33.500 com desvio de $ 8,150. Considerando que os salários têm distribuição normal, estime a média dos salários anuais dos gerentes dessa empresa com I.C = 95%.

Solução

Dados
n = 16
_
X = 33.500
Sx = 8,150
I.C = 95%
μx = ?
g.l = n – 1 = 16 – 1 = 15

Como σx é desconhecido e n<30 logo a distribuição é de t de student.

μx = X ± tα/2*Sx/√n

μx = 33.500 ± (2,131*8,150/√16)
μx = 33.500±(2,131*8,150/4)
μx = 33.500±(2,131*2,038)
μx = 33.500±4,343
μx = [33495,66; 33504,34]

     3.       O desvio padrão de uma população é 12. Qual o tamanho da amostra se o erro de estimativa deve ser igual a 2, e o I.C = 90%.

Solução

Dados
σx = 12
n = ?
e = 2
I.C = 90%

Sabe-se que: e = Zα/2* σx/√n Logo:

√n = Zα/2* σx/e => n = (Zα/2* σx/e)²

n = (1,645*12/2) ² = (1,645*6) ² = (9,87) ² = 97,4≅ 97

    4.       De uma população com desvio padrão 12, foi retirada uma amostra aleatória de tamanho n = 100 com média = 81. Estime a média da população para os I.C1 = 90%, I.C2 = 95% e I.C3 = 99%.

Solução

Dados

σx = 12
n = 100
_
X = 81
μx = ?
I.C1 = 90%
I.C2 = 95%
I.C3 = 99%

μx = X ± Zα/2* σx/√n

PARA I.C1 = 90% teremos:

μx = 81±1,645*12/√100
μx = 81±1,645*12/10
μx = 81±1,645*1,2
μx = 81±1,974
μx = [79,03 ; 82,97]

PARA I.C2 = 95% teremos:

μx = 81±1,960*1,2
μx = 81±2,352
μx = [78,65 ; 83,35]

PARA I.C3 = 99% teremos:

μx = 81±2,576*1,2
μx = 81±3,091
μx = [77,91; 84,09]