quarta-feira, 17 de julho de 2013

O Último Teorema de Fermat (Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ) Não tem Solução para n≥3

Sendo um entusiasta em números, apresento a vocês alguns comentários sobre o Último Teorema de Fermat de uma forma descontraída e sem muito formalismo. Quem sabe em um próximo post, eu comento sobre curvas elípticas, teorema de Tanyama-Shimura, etc. Mas para os leitores mais curiosos recomendo que leia o livro O Último Teorema de Fermat do Simon Singh.

O Último Teorema de Fermat afirma que se [;n;] é um número natural maior que [;2;], a equação

[;x^n + y^n = z^n \qquad (1);]

não possui soluções para [;x\ ;],[;y;] e [;z;] inteiros não-negativos (soluções não-triviais).

Este problema surgiu para Fermat quando ele se encontra à margem da página em que Diofanto estuda o problema de encontrar inteiros [;x\;], [;y;] e [;z;] tais que [;x^2 + y^2 = z^2;] e acha infinitas soluções. Lá, Fermat escreveu o seguinte:

"Por outro lado, é impossível separar um cubo em dois cubos, ou um biquadrado em dois biquadrados, ou em geral qualquer potência maior que a segunda em potências do mesmo grau; descobri uma demonstração realmente maravilhosa deste fato que esta margem é pequena demais para conter".

Com a morte de Fermat, houve grande preocupação em preservar seu trabalho matemático. Assim, a maioria das cartas foram publicadas, inclusive uma edição do livro de Diofanto com suas anotações. A mais famosa destas anotações que Fermat havia feito nas margens deste livro é esta conjectura.

De início, esta conjectura não parece ter atraído tanta atenção. Mas várias asserções foram demonstradas, especialmente após Euler ter interessado pelo assunto, ficando apenas esta conjectura. Por isso, ela ficou conhecida como o "Último Teorema de Fermat" - não o último a ser proposto, mas o único que esperava uma demonstração.

Em [;1994;], após [;350;] anos que Pierre de Fermat [;(1601-1665);] propôs este problema, o matemático inglês Andrew Wiles [;(1953-);] finalmente provou a afirmação para todos os naturais. O próprio Andrew detectou um pequeno erro em sua solução e após dois anos, ele publica a sua versão final corrigida com mais de [;100;] páginas com muita matemática avançada.

Muitos casos particulares do Último Teorema de Fermat foram resolvidos por grandes matemáticos tais como Leonhard Euler, Lagrange, Gauss, Kummer, entre outros. O caso [;n=4;] foi resolvido pelo próprio Fermat usando o seu método de descida ao infinito.

O que veremos neste post são algumas pequenas proposições fáceis de provar e que estão ao alcance de todos. Como este problema é mundialmente famoso, as vezes aparecem alguns entusiastas com pouco preparo matemático com uma falsa prova de poucas páginas. Muitos matemáticos acreditam que Fermat estava errado ao dizer que possuía uma demonstração maravilhosa para o seu problema.

Proposição 1: Se a expressão

[;x^4 + y^4 = z^2 \qquad (2);]

não admitir soluções não-triviais, então a expressão [;(1);] com [;n=4;] também não admite.

Demonstração: De fato, suponhamos que [;x^4 + y^4 = z^4;] admite a terna [;(x_0,y_0,z_0);] de inteiros diferentes de [;0;] e [;1;] como solução, ou seja, [;x_{0}^4 + y_{0}^{4} = z_{0}^{4};]. Sendo [;x_{0}^4 + y_{0}^{4} = (z_{0}^{2})^2;], segue que [;(x_0,y_0,z_{0}^{2});] é solução de [;x^4 + y^4 = z^2;], o que é um absurdo.

Proposição 2: Se [;n \succ 2;] é um natural, então a equação [;(1);], não possui soluções, onde [;x\ ;], [;y;] e [;z;] são racionais não-nulos.

Demonstração: Suponhamos que [;(x_0,y_0,z_0);] é uma solução da equação [;x^n + y^n = z^n;]. Sendo [;x_0;], [;y_0;]e [;z_0;] racionais, então


onde [;a_i;] e [;b_i;] para [;i=1,2;] e [;3;] são inteiros não-nulos. Assim,
[;(\frac{a_1}{b_1})^n + (\frac{a_2}{b_2})^n = (\frac{a_3}{b_3})^n \qquad (3);]

Multiplicando a expressão [;(3);] por [;(b_1b_2b_3)^n;], temos
[;(a_1b_2b_3)^{n} + (a_2b_1b_3)^{n} = (a_3b_1b_2)^n;]

de modo que [;(a_1b_2b_3,a_2b_1b_3,a_3b_1b_2);] é uma solução não-trivial da equação [;(1);], o que é um absurdo.

Proposição 3: Se dois dos três números [;(x,y,z);] pode ser dividido por um quarto número [;d;], então todos os três números são divísiveis por [;d;].

Demonstração: Suponhamos que [;x\ ;] e [;z;] sejam divisíveis por [;d;], isto é, [;d | x;] e [;d | z;]. Assim, [;d | x^n;] e [;d | z^n;]. Sendo [;y^n = z^n - x^n;], segue que [;d | y^n;]. Os outros casos são análogos.

Assim, se [;g = mdc(x,y,z);], então [;g | x;], [;g | y;] e [;g | z;], de modo que
[;(x,y,z) = (ag,bg,cg) = g(a,b,c);]

onde a terna [;(a,b,c);] possui os elementos dois a dois primos entre si, isto é,
[;mdc(a,b) = mdc(a,c) = mdc(b,c) = 1;]

Observação 1: Se [;(x,y,z);] é uma solução não-trivial de [;(1);], então [;(a,b,c);] também é.

Observação 2: A terna [;(a,b,c);] solução de [;(1);], onde [;a;], [;b;] e [;c;] são dois a dois primos entre si é chamada de solução primitiva.

Proposição 4: Em qualquer solução primitiva [;(a,b,c);] de [;(1);], um número é par e os outros dois são ímpares.

Demonstração: Se [;a;], [;b;] e [;c;] são todos pares, então
[;mdc(a,b) = mdc(a,c) = mdc(b,c) = 2;]

contradizendo o fato que [;(a,b,c);]é uma solução primitiva. Se todo eles fossem ímpares, então [;a^n;] é ímpar, [;b^n;] é ímpar e [;c^n;] também é ímpar. Desta forma, [;a^n + b^n;] seria par e a identidade [;a^n + b^n = c^n;] seria impossível. A alternativa de ter dois números pares e um ímpar como solução também é impossível. Logo, pelo menos um número deve ser par e os outros dois devem ser ímpares.

Desde que toda solução da equação de [;(1);] pode ser reduzida a um solução primitiva pela divisão do máximo divisor comum [;g;], o Último Teorema de Fermat pode ser provado mostrando que não há soluções primitivas.

Uma consequência interessante da prova do Último Teorema de Fermat é o Corolário seguinte:

Corolário 1: [;\sqrt[n]{2};] é irracional.

Demonstração: Suponhamos que existem inteiros não-nulos [;a;] e [;b;] tal que

[;\sqrt[n]{2} = \frac{a}{b} \quad \Rightarrow \quad 2 = \frac{a^n}{b^n} \quad \Rightarrow \quad a^n = b^n + b^n;]
ou seja, [;(a,b,b);] é uma solução não-trivial do Último Teorema de Fermat. Absurdo!

Referência Bibliográfica:
- Gouvêa, Fernando Q. Em busca da "Demonstração Maravilhosa". RPM, número 15, 1989.
- Troung, Jack. Geometric and Discrete Mathematics.