terça-feira, 16 de julho de 2013

Como se calcula o comprimento da sombra?

Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distância d de uma esfera opaca de raio R'.
compeclipse.gif
Por semelhança de triângulos temos que:
\frac{R^\prime}{L}= \frac{R}{L+d}
E portanto a altura do cone de sombra (L) é:
L = \frac{R'd}{R-R'}
Onde:
  • L = comprimento da sombra
  • d = distância da fonte à esfera opaca
  • R' = raio da esfera opaca
  • R = raio da fonte
bar

Como se calcula o raio da sombra da Terra à distância da Lua?

sombra.gif
  • L = comprimento da sombra
  • R' = raio da Terra
  • r(l) = raio da sombra a uma distância l da Terra
Novamente por semelhança de triângulos temos que:
\frac{r(l)}{L-l} = \frac{R'}{L}

E o raio da sombra à distância l da esfera opaca é:
r(l) = R'{\frac{L-l}{L}}
bar

Exemplos de cálculos de eclipses


  1. Calcular o comprimento médio da sombra da Terra, considerando-se:
    • distância Terra-Sol: 149 600 000 km
    • raio da Terra: 6370 km
    • raio do Sol: 696 000 km
    Como
    comprimento da sombra = distância da fonte × raio da esfera
    raio da fonte - raio da esfera
    Obtemos:
    comprimento da sombra = 149 600 000 km × 6370 km
    696 000 km - 6370 km
    ou
    comprimento da sombra = 1 381 800 km
  2. Seja r o raio da Terra, R = 109r o raio do Sol, d = 23680r a distância entre o Sol e a Terra.

    • a) Qual é o comprimento do cone de sombra formado?
      L = d × r
      R-r
      = 23680 r2
      109r-r
      = 219,26r
    • b) Qual é o raio deste cone a uma distância de l = 60r por onde passa a Lua?
      Como
      r(l)
      L-l
      = r
      L
      r(l) = r
      L
      (L-l) = r
      219,26r
      (219,26r-60r) = 0,726 r
    • c) Sendo rL = r/3,6 o raio da Lua, quantos diâmetros lunares cabem nessa região da sombra?
      r(l)/rL = 0,726 r
      r / 3,6
      = 2,6
    Isto é, na distância da Lua, a umbra da Terra tem 9200 km. A penumbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua órbita é de 3400 km/hr, um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e um eclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h.
A duração e forma dos eclipses dependem da distância instantânea do Sol e da Lua, que variam devido às órbitas elípticas, e também dos ângulos no momento do eclipse, que variam devido à inclinação da órbita da Terra em torno do Sol (obliqüidade da eclíptica=23,5°), e da inclinação da órbita da Lua (5,2°).