terça-feira, 16 de julho de 2013

Determinação da órbita de Marte - Método de Kepler

A tabela da última folha dá as longitudes heliocêntricas tex2html_wrap_inline32 e tex2html_wrap_inline34, da Terra e de Marte respectivamente, e a elongação tex2html_wrap_inline36 de Marte, para 24 datas.


A figura acima permite a visualização de tex2html_wrap_inline32, tex2html_wrap_inline34, e de tex2html_wrap_inline36. Quando tex2html_wrap_inline36 é tex2html_wrap_inline46, os planetas estão em oposição, e suas longitudes são iguais. A tabela dá os dados para 12 oposições desde 1956 até 1980. Em 1609, a partir de observações similares, também sobre um período de 24 anos, Kepler formulou suas três leis governando o movimento orbital de Marte, através do método gráfico resumido abaixo. Primeira Lei. O problema consiste em traçar a órbita de Marte a partir das várias posições na tabela. Em um cálculo preliminar, Kepler encontrou que a Terra tinha uma órbita quase circular com excentricidade e = 0.017, e longitude no periélio de tex2html_wrap_inline50.
1. Desenhe esta órbita, usando um círculo de raio r. Coloque a posição do Sol a uma distância tex2html_wrap_inline54 do centro do círculo na direção do periélio.
2. Agora plote as posições de Marte, como segue: Desenhe a direção (vamos chamar tex2html_wrap_inline56 essa direção), que é comum para Terra e Marte na oposição tex2html_wrap_inline58 1. Note que neste ponto só sabemos a direção em que está Marte, mas não sabemos em que posição ao longo desta direção ele está. No entanto, após 1 período sideral, P, em julho de 1958, Marte retornou à mesma longitude. Sua posição tex2html_wrap_inline62 agora pode ser encontrada plotando a posição da Terra no diagrama, e então desenhando a linha (vamos chamar tex2html_wrap_inline64), na direção dada pelo ângulo tex2html_wrap_inline36. O ponto em que essa linha corta a linha tex2html_wrap_inline56 é a posição de Marte.
Da mesma forma, as posições tex2html_wrap_inline70,tex2html_wrap_inline72,...,tex2html_wrap_inline74 de Marte na sua órbita podem ser encontradas para as longitudes correspondentes às 12 oposições listadas na tabela.

3. Ajuste um círculo ao polígono resultante. O centro do círculo não irá coincidir com a posição do Sol, de forma que a órbita deve ser elíptica. 4. Determine o comprimento do semi-eixo maior em unidades astronômicas, a excentricidade orbital, e, e a longitude do periélio.
Terceira Lei. 5. O período sinódico, S, pode ser encontrado a partir do intervalo médio entre oposições sucessivas. Calcule este valor para cada par de oposições listadas na tabela. Exemplo: tex2html_wrap_inline80 = 36523-35726=797 dias. É preciso calcular o valor médio.
6. Calcule o período sideral de Marte, P, em dias e em anos. O período sideral é o intervalo de tempo entre longitudes iguais sucessivas! Exemplo: tex2html_wrap_inline84 = 687 dias. Mais fácil ainda é utilizar o período sinódico médio calculado na questão anterior e a relação entre o período sinódico e o período sideral. Mostre que a razão tex2html_wrap_inline86 é a mesma para a Terra e para Marte.
Segunda Lei. Kepler observou que o movimento longitudinal de Marte era irregular. Entre duas oposições sucessivas, separadas por um intervalo tex2html_wrap_inline88, a longitude cresce de tex2html_wrap_inline90. A velocidade angular resultante, tex2html_wrap_inline92, não era constante. Exemplo: entre 1a. e 2a. oposição, tex2html_wrap_inline80 = 797 - 687 = 110 dias, tex2html_wrap_inline98, e portanto tex2html_wrap_inline100
7. Plote a variação de tex2html_wrap_inline92 como uma função da longitude tex2html_wrap_inline34. Use a longitude média no intervalo. Que direções correspondem aos valores de máximo e mínimo? Para estas duas direções mostre que a área varrida pela linha unindo Marte e o Sol na unidade de tempo é sempre a mesma, lembrando que a velocidade areal é dada por:
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