segunda-feira, 20 de maio de 2013

Prova Resolvida - Estatística

      1.       Considerando o lançamento de uma moeda e um dado construa:
a)      O espaço amostral.
A => Moeda =>{ Cara e Coroa}
B => Dado=> {1,2,3,4,5,6}

S = {1Cara; 1 Coroa; 2 Cara; 2 Coroa; 3Cara; 3 Coroa; 4Cara; 4 Coroa; 5Cara; 5Coroa; 6Cara; 6Coroa}

b)      Se o evento A = { cara com número impar} e evento B = {coroa com um número par}, exiba o evento B complementar e o evento onde A e B ocorrem.
A = {1Cara; 3Cara; 5Cara}
B = {2Coroa; 4Coroa; 6Coroa}
B Complementar = {1Cara; 1Coroa; 2Cara; 3Cara; 3Coroa; 4Cara; 5Cara; 5Coroa; 6Cara}
A∩B = {ø}
      2.       Em determinado experimento constatou-se que P(A complemento) = 1/2 e P(B) = ¼, onde A e B são mutuamente excluentes. De acordo com essas informações calcule:
a)      P(A)
P(A) = 1 – P(A complemento) => P(A) = 1 – 1/2 = 1/2
b)      P(B complemento)?
P(B complemento) = 1 – P(B)
P(B complemento) = 1 – ¼ = ¾

c)       P(A∩B)?
P(A∩B) = ø

d)      P(AUB)?
P(AUB) = P(A) + P(B) => P(AUB) = ½ + ¼ = ¾

      3.       Um experimento constatou que P(A) = ½, P(B) = 1/3 e P(A∩B) = ¼.
a)      Calcule: P(AUB)
      4.       Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de ser:
a)      Multiplo de 5

Dados
N(S) = 50
Multiplos de 5: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. => N(A) = 10
P(A) = N(A) / N(S) => P(A) = 10/50 = 0,2*100 = 20%
R: A probabilidade de que o número escolhido aleatoriamente seja múltiplo de 5 é de 20%.

b)      Divisivel por 6 ou 8
Dados
A => Divisivel por 6
B => Divisivel por 8
N(S) = 50
N(A) = 8 (divisivel por 6) e N(A) = 6 (divisivel por 8)
P(A) = 8/50 = 0,16*100 = 16%
P(B) = 6/50 = 0,12*100 = 12%
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0,16 + 0,12 – (0,16*0,12) = 0,28 – 0,0192 = 0,2608*100 = 26,08%

R: A Probabilidade de que o número escolhido aleatoriamente seja divisivel por 6 ou 8 é de 26,08%
            5.       Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e 96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidades de:
a)      Não possuir sangue do tipo A
P(A complemento) = 100 – P(A) => P(A complemento) = 100% - 15% = 85%

R: A probabilidade de não possuir sangue do tipo A é de 85%.

b)      Possuir sangue do tipo B

P(B complemento) = 88% então
P(B) = 100 – P(B complemento) => P(B) = 100% - 88% = 12%

R:  A probabilidade de possuir sangue do tipo B é de 12%.

c)       Possuir sangue do tipo AB

P(C) = 100% – 96% = 4%

R: A probabilidade de possuir sangue do tipo AB é de 4%.

           6.       A probabilidade de que João resolve esse problema é de 1/3, e a de que José o resolva é de ¼. Se ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?

P(JoãoUJosé) = P(João) + P(José) – P(João∩José)
P(JoãoUJosé) = 1/3 + ¼ - (1/3*1/4) = (4+3)/12 – 1/12 = 7/12 - 1/12 = 6/12 = ½ =                    = 0,5*100 = 50%

R: A probabilidade de o problema ser resolvido por ambos de modo independente é de 50%.
            7.       Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Determine a probabilidade de que esse número seja menor que 5.

Dados
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
Impares menores que 5 = {1; 3}
N(S) = 11
N(A) = 2
P(A) = 2/11 = 0,182*100 = 18,18%

R: A probabilidade de se escolher numero impar e menor que 5 é de 18,18%.

          8.       Em uma caixa contém 4 bolas verdes e 2 amarelas, serão extraídas sucessivamente sem reposição, 2 bolas.
a)      Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a segunda ser também amarela?

P(A) = 1/12 = 0,0833*100 = 8,33%

R:  A probabilidade de a 2ª bola ser também amarela é de 8,33%

b)      Se a primeira bola sorteada for verde, qual a probabilidade de a segunda ser também verde?

P(A) = 3/12 = 0,25*100 = 25%

R: A probabilidade de a 2ª bola ser também verde é de 25%

c)       Se a primeira e a segunda bola sorteadas foram verde, qual a probabilidade de a terceira ser também verde?

P(A) = 2/12 = 0,1667*100 = 16,67%

R: A probabilidade de a terceira bola ser também verde é de 16,67%

9. Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é de 0,10.
a) Qual a possibilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose?
Dados
Pessoa => (Homem ou Mulher) então teremos:
P(pessoa estar com TB) = P(Homens U  Mulheres) = P(H) + P(M) - P(H∩M)
=> P(H U M) = 0,05 + 0,10 - (0,05*0,10) = 0,15 - 0,005 = 0,145*100 = 14,5%
R:  A probabilidade de uma pessoa ter Tuberculose é de 14,5%

b) Se uma pessoa é retirada e está com tuberculos, qual a probabilidade de que seja Homem?
Homens = 400
Como P(Homens c/ TB) = 0,05 => 1/400 = 0,0025*0,05 = 0,000125*100 = 0,0125%

R: Se uma pessoa for retirada ao acaso e está com tuberculose a probabilidade de que seja Homem é de 0,0125%.

c) Se uma pessoa for retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja Mulher?

Mulheres = 600
Como P(mulheres c/ TB) = 0,10 => 1/600 = 0,001667*0,10 = 0,0001667*100 = 0,01667%

R: A probabilidade de que uma pessoa retirada ao acaso está com TB e é mulher é de 0,01667%.

10. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:


Caracteristica
Azuis
Castanhos
Loira
17
9
Morena
4
14
Negra
3
3


a) Construa a Tabela de probabilidades conjuntas e totais:


Caracteristica
Azuis
Castanhos
Total
Loira
0,34
0,18
0,52
Morena
0,08
0,28
0,36
Negra
0,06
0,06
0,12
Total
0,48
0,52
1



b) Se você marca um encontro com uma dessas garotas escolhida ao acaso calcule:
b.1) Se é morena qual a probabilidade que tenha olhos azuis?

P(A) = 0,08*100 = 8%

R: A probabilidade de ser morena e ter olhos azuis é de 8%.

b.2) Se é morena qual a probabilidade que tenha olhos castanhos?

P(A) = 0,28*100 = 28%

R: A probabilidade de ser morena e ter olhos castanhos é de 28%.

b.3) Se é loira qual a probabilidade que tenha os olhos azuis?

P(A) = 0,34*100 = 34%

R: A probabilidade de ser loira e ter olhos azuis é de 34%.

b.4) Se é loira qual a probabilidade que tenha olhos castanhos?

P(A) = 0,18*100 = 18%.

R: A probabilidade de ser loira e ter olhos castanhos é de 18%.

b.5) Se é negra qual a probabilidade que tenha olhos azuis?

P(A) = 0,06*100 = 6%

R: Se é negra a probabilidade que tenha olhos azuis é de 6%.

b.6) Se é negra qual a probabilidade que tenha olhos castanhos?
P(A) = 0,06*100 = 6%

R: Se é negra a probabilidade que tenha olhos castanhos é de 6%.