quarta-feira, 15 de maio de 2013

Exercícios Resolvidos de Estatística



1. Temos uma urna que contém 4 bolas numeradas de 1 a 4, sendo as 3 primeiras brancas  e a 4ª vermelha, se extraímos aleatoriamente uma amostra de tamanho 2 com reposição; qual é a probabilidade que ambas sejam brancas?

Dados
S = { Z1; Z2 ≥ 4 => Z1 = 3...Z2 = 1
Z1 = bolas brancas
Z2 = bolas vermelhas 
n = 2 => tamanho da amostra
M = 4 => quantidade total de bolas na urna

N(S) = M^n => N(S) = 4² = 16
N(A) = 3² = 9

A: Probabilidade que se extraiam 2 bolas brancas.

P(A) = N(A)/N(S) <=> P(A) = 9/16 = 0,56 * 100 = 56%.

R: A probabilidade de extrair duas bolas brancas é de 56%

2. Considere 3 urnas com a seguinte composição: 
Urna 1: 3 bolas vermelhas e 2 pretas
Urna 2: 4 bolas vermelhas e 3 pretas
Urna 3: 1 bola vermelha e 6 pretas
As bolas em cada urna estão numeradas, e extraímos 1 de cada urna. Qual a probabilidade de que as 3 bolas na amostra sejam vermelhas?

Nota: Para resolver esse exercicio temos que observar que as bolas extraidas não serão devolvidas, ou seja, estamos perante uma amostragem sem reposição ordenado, desta forma teremos:

N(A) = 3*4*1 = 12
N(S) = n1X1...n2X2...nnXn => N(S) = 5*7*7 = 245

Logo: P(A) = N(A)/N(S) <=> P(A) = 12/245 = 0,049*100 = 4,9%.

R: A probabilidade de se extrair bolas vermelhas é de 4,9%.

3. Quantas amostras de tamanho 4 podem tirar-se de uma urna que contém 4 bolas numeradas de 1 à 4.

Nota: Consideraremos o exercicio como sendo com reposição ordenado, pois é a conclusão mais lógica. Desta forma vem:
N(S) = M^n <=> N(S) = 4 = 256
N(A) = 4 
Logo:
P(A) = N(A)/N(S) <=> P(A) = 4/256 = 0,015*100 = 1,5%.

R: A probabilidade de se tirar amostras de tamanho 4 de uma urna que contém 4 bolas é de 1,5%.

4. Temos uma urna com 15 bolas das quais 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Se se extrai uma bola da urna; determine a probabilidade que seja:
a) Branca
b) Vermelha
c) Azul
d) Não vermelha
e) Probabilidade que seja vermelha ou branca

Nota: Analisando concluímos que se trata de uma amostragem com reposição ordenado. Desta forma teremos:

a) A: probabilidade de extrair bola branca

Dados
M = 15 (número de bolas)
n = 1 (tamanho da amostra)
N(A) = 4 então:

N(S) = M^n <=> N(S) = 15^1 = 15

P(A) = N(A)/N(S) <=> P(A) = 4/15 = 0,27*100 = 27%

R: A probabilidade de se extrair bola branca é de 27%.

b) A: Probabilidade de extrair bola vermelha

N(S) = 15
N(A) = 6 (número de casos favoráveis para bolas vermelhas)

P(A) = 6/15 = 0,4*100 = 40%

R: A probabilidade de extrair bola vermelha é de 40%

c) A: Probabilidade de se extrair bola azul

P(A) = 5/15 = 0,3333*100 = 33,33%

R: A probabilidade de se extrair bola azul é de 33,33%

d) A: Probabilidade de se tirar bola não vermelha

P(A) = P(Azul) + P(Branca) <=> P(A) = 0,27 + 0,33 = 0,6 = 60%

OU
P(A) = 1 - P(vermelhas) => este denomina-se por probabilidade do complemento. Desta forma teremos o seguinte:

P(A) = 1 - 0,4 = 0,6*100 = 60%

R: A probabilidade de se escolher bola não vermelha é de 60%

e) A: Probabilidade de se extrair Vermelha ou Branca

P(Vermelha U Branca) <=> P(Complemento de Azul) = 1 - P(Azul) Logo Vem:

P(A) = 1 - 0,3333  = 0,67*100 = 67%

R: A probabilidade de se extrair vermelha ou branca é de 67%.