domingo, 21 de abril de 2013

Produtos Notáveis


Produtos notáveis (32 Identidades)
  1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
  1. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
  1. Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
  1. Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
  1. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
  1. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
  1. Identidade de Fibonacci
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
  1. Identidade de Platão
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
  1. Identidade de Lagrange (4 termos)
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
  1. Identidade de Lagrange (6 termos)
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²
  1. Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
  1. Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
  1. Quadrado da soma de n termos
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/soma1.png
sendo que i<j.
Exemplos:
(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
  1. Cubo da soma de n termos
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/soma2.png
sendo que i<j e i<j<k.
  1. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
  1. Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
  1. Soma de dois cubos
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
  1. Soma de dois cubos na forma fatorada
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
  1. Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
  1. Diferença de potências (ordem 4)
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)
  1. Diferença de potências (ordem 6)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
  1. Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)
  1. Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
  1. Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
  1. Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)
  1. Cubo da soma de três termos
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9
  1. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
  1. Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)
  1. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74
  1. Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²
  1. Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34
  1. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
Exemplo:
(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)