segunda-feira, 22 de abril de 2013

Método de Tartaglia para obter raízes de equação do 3o. grau


Método de Tartaglia para obter raízes de equação do 3o. grau


Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia. Detalhes históricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia no final desta página.
Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:
a x³ + b x² + c x + d = 0
e se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:
x³ + (b/a) x² + (c/a) x + (d/a) = 0
e assim iremos considerar só as equações em que o coeficiente de x³ seja igual a 1, isto é, equações da forma geral:
x³ + A x² + B x + C = 0
onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituição de translação:
x = y-A/3
na equação acima, obteremos:
y³ + (B-A²/3) y + (C-AB/3+2A³/27) = 0
e tomando p=(B-A²/3) e q=C-AB/3+(2/27)A³, poderemos simplificar a equação do terceiro grau na variável y, para:
y³ + p y + q = 0
Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuraremos esta raiz na forma y=u+v. Substituindo y por u+v, na última equação, obteremos:
(u+v)³ + p(u+v) + q = 0
o que equivale a
u³ + v³ + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0
ou seja
u³ + v³ + (3uv+p)(u+v) + q = 0
Usando esta última equação e impondo a condição para que:
p = -3uv   e   q= -(u³+v³)
obteremos valores de u e v para os quais y=u+v deverá ser uma raiz da equação. Estas últimas condições implicam que:
u³ v³=-p³/27   e   u³+v³ = -q
Considerando u³ e v³ como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do 2o. grau da forma:
z² - S z + P = 0
onde
S = soma das raízes = u³ + v³
P = produto das raízes = u³ v³
Resolveremos agora a equação do 2o. grau:
z² + q z - p³/27 = 0
para obter as partes u e v da primeira raiz:
r1 = u + v
Com o discriminante desta última equação, definido por:
D = q²/4 + p³/27
e utilizando a fórmula de Bhaskara (o próprio Bhaskara relatou em um trabalho, que não é de sua autoria a fórmula, mas do matemático hindu Sridhara), obtemos:
u³ = -q/2 + D½
v³ = -q/2 - D
½
A primeira raiz r1 da equação original
x³ + A x² + B x + C = 0
depende da translação realizada no início e será dada por:
r1 = u + v - A/3
Como r1 é uma raiz, utilizaremos a divisão
(x³ + A x² + B x + C)/(x-r1)
para obter a polinomial de segundo grau:
p(x) = x² + (A+r1)x - C/r1
com o resto da divisão igual a:
Resto = r1³ + A r1² + B r1 + C
que será nulo ou muito próximo de zero se o valor for aproximado.
Os zeros desta equação do segundo grau, podem ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependem do valor D que é o discriminante desta última polinomial.
Pela análise destes valores, conheceremos as características das raízes da equação x³+Ax²+Bx+C=0.
Discriminante
Detalhes sobre as raízes da equação
D=0
3 raízes reais, sendo duas iguais
D>0
1 raiz real e 2 raízes complexas conjugadas
D<0
3 raízes reais distintas
A construção das raizes não é simples e consideraremos duas possibilidades: D negativo ou D não negativo.
Situação D<0: Calcularemos os valores:
1.   E=(-D)½
2.   r=(q²/4 +E²)½
3.   t =arccos(-q/2r)
sendo as três raízes reais dadas por:
r1 = 2 r1/3cos(t/3) - A/3         
r2 = 2 r
1/3cos((t+2pi)/3)) - A/3
r3 = 2 r
1/3cos((t+4pi)/3)) - A/3


Situação D>0: Calcularemos os valores:
1.   E = D½
2.   u3 = -q/2 + E
3.   v3 = -q/2 - E
4.   u = (u3)1/3
5.   v = (v3)1/3
sendo que a primeira raiz será:
r1 = u + v - A/3
Para obter as outras raizes, construímos outra constante:
d2 = (A+r1)² + 4C/r1
e consideramos duas possibilidades sobre d2:
a.   Se d2 é negativo:
r2 = -(A+r1)/2 + ½(-d2)½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(-d2)
½
b.   Se d2 é não negativo:
r2 = -(A+r1)/2 + ½(d2)½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(d2)
½
Exercício: Usando os passos acima expostos, resolver as equações:
1.   x³-6x-9=0
2.   x³-6x-40=0
3.   x³+3x+2=0
4.   x³-3x-2=0
5.   x³-6x-4=0
6.   x³+2x²-8x+5=0


Cálculo rápido
Para resolver estas equações rapidamente, vá ao link Raízes de uma equação do 3o. grau. O código fonte está escrito na linguagem JavaScript e pode ser usado no meio científico desde com a citação da fonte, que segue exatamente o método algébrico exposto aqui.
Referências bibliográficas
1.   O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1997.
2.   A Equação do Terceiro Grau, Elon Lages Lima, Revista Matemática Universitária, No.5, Junho/1987.