sexta-feira, 11 de outubro de 2013

Interpolação (Linear; Polinomial e Trigonométrica)

Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também denominado conjunto degenerado) não possui continuidade, e isto muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real empiricamente observado.
Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada.
Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.
A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domínio da função). A função resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.

Exemplo de interpolação linear

Exemplo de interpolação polinomial de grau superior a 1

Tipos de interpolação

  • Interpolação linear
  • Interpolação polinomial
  • Interpolação trigonométrica

Interpolação linear

Definição

Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolação que se utiliza de uma função linear p(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma suposta função f(x) que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no domínio de f(x).
Assim sendo, se aquele intervalo for, por exemplo, o intervalo das abscissas \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\}  \sub D_f, \forall n \in \mathbb{N}, e D_f = \mathbb{R} (D_f é o domínio da função f(x)), o que a definição diz é que todos os elementos de \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\} estão em \mathbb{R}, mas nem todos x_{i} \in \mathbb{R} (\forall i \in \mathbb{N}) estão em \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\} e por esta razão \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\} se diz um intervalo descontínuo ou degenerado, sendo necessário usar uma função p(x) para compensar a descontinuidade de f(x) naquele intervalo de abscissas.
Em outras palavras: quando se dispõe somente do intervalo \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\} (\sub D_f) e dos valores \{f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots,f(x_n)\}, sem se conhecer a expressão matemática da função f(x), pode-se aplicar o polinômio interpolador de primeiro grau p(x) para que se tenha uma função contínua em [x_{1};x_{n}] (\sub D_f) e, conseqüentemente, com suas abscissas interceptando todos os elementos de \{x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\} (\ne [x_{1};x_{n}]).
O principal problema é que se os pontos forem poucos ou muito afastados entre si, a representação gráfica para uma determinada função não seria muito bem representada por tal método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais elevados ou aplicar outros métodos. Um deles é o método de Lagrange.

Interpolação polinomial

Definição

Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função p(x).
Definidos um intervalo [a;b] \sub \mathbb{R} e uma função f:[a;b] \rightarrow \mathbb{R}, denomina-se interpolação o processo matemático de avaliar f(x), \forall x \in [a;b], substituindo-se a função f(x) pela função interpoladora p(x), de modo que p(x_i)=f(x_i), \forall i \in [1;n] (\sub \mathbb{N}).
Assim, f(x) é a função real, definida em [a;b] \sub \mathbb{R}, da qual conhecem-se os valores nos pontos de abcissas x_1, x_2, x_3,..., x_i \in [a;b], \forall i \in [1;n] (\sub \mathbb{N}).
Na fase de escolha do processo matemático de interpolação, frequentemente são escolhidos polinómios. Isto porque os polinómios apresentam relativa simplicidade, e também porque permitem representar satisfatoriamente a generalidade das funções que surgem no dia-a-dia.

Métodos de interpolação polinomial

Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos outros, quanto à técnica de determinação do polinómio interpolador. Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada método.
  • Método de Newton
  • Método de Lagrange
  • Método de Bernstein

Exemplo

Quer-se achar o polinômio do terceiro grau que interpola a tabela:
x  f(x)
1  -17
2    4
3   71
4  202
Constroe-se o sistema A.X = B
A =
1 1  1  1
1 2  4  8
1 3  9 27
1 4 16 64
Em A, a segunda coluna são os valores de x, a terceira coluna é a segunda ao quadrado e a quarta é a segunda ao cubo.
B =
-17
4
71
202
As raízes deste sistema são os coeficientes do polinômio:
X =
-10
-15
5
3
f(x)=3x³+5x²-15x-10


Interpolação trigonométrica


Em matemática, interpolação trigonométrica é processo pelo qual se obtém um polinômio trigonométrico que passa por um conjunto de pares (x,y) dados. É uma forma de interpolação adequada somente para funções periódicas.

Índice

  • 1 Formulação do Problema
  • 2 Formulação no plano complexo
  • 3 Exemplos
    • 3.1 Exemplo 1
      • 3.1.1 Exemplo 2

Formulação do Problema

O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:
 p(x) = a_0 + \sum_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum_{j=1}^n b_j \sin(jx). \,
com  2n-1 coeficientes:  a_0,a_1,...a_n  e\  b_0,b_1,...,b_n. Todo problema de interpolação é descrito como
 f(x_k)= y_k
, onde  k=0, 1, 2... n-1. Como o polinômio trigonométrico tem período 2\pi, podemos assumir que  0 \le x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{N-1} < 2\pi. \,
O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.
Se o número de pontos for ímpar: m= \frac{n-1}{2}
e \Psi(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x)  ]
Se o número de pontos for par: m= \frac{n}{2}
e \Psi(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m-1}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x)  ]+ \frac{A _{m} }{2} \cdot \cos(m \cdot x)
Para ambos os casos:
A _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \cos(j \cdot x _{k} ) ]
B _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \sin(j \cdot x _{k} ) ]

Formulação no plano complexo

Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como e^{ikx}=cos(kx)+isen(kx) Então o polinômio pode ser escrito como
 p(x) = \sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}, \,
onde  c_0 = a_0 ,  c_k = \frac{1}{2}(a_k + ib_k) e c_-k = \frac{1}{2}(a_k - ib_k)
Se  z=e^{ix} podemos reescrever  p(x) como p_n(z)=\sum_{k=-n}^n c_k z^{k}, \,
onde z^{n}p_n(z) é um polinômio de grau  \leq 2n.
O problema de interpolação, então, resume-se a  p_n(z_k)=f(t_k), \qquad k=0,1,2,...,2n

Exemplos

Exemplo 1

Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para  f(t)= e^{sint + cost} em  [0;2]  p_2(t) = \frac{a_0}{2} + c_1cost + c_2cost + b_1sint+b_2sin2t
de forma que  p_2(t) = e^{sint_l +cost_l} e  t_l=\frac2{\pi}{5}l onde  l= 0,1,2,3,4.
 a_l= \frac{2}{2n+1}\sum_{k=0}^{2n} f(t_k)coslt_k,\,  b_l= \frac{2}{2n+1}\sum_{k=0}^{2n} f(t_k)sinlt_k,\,  a_0= 3,12764, a_1= 1,24872, a_2= 0,09426, b_1= 1,27135, b_2=0,49441

Exemplo 2

Interpolar os seguintes pontos:
\begin{array}{|c||cccc|}k & 0 & 1 & 2 & 3  \\f_k & 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}

Número de pontos n=4 \, (par) Grau: m=\frac{n}{2}=2
x_k=k\cdot \frac{2\pi}{4} \Rightarrow x_k=\left \{ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi, \ \frac{3}{2}\pi\right \}
A_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \cos(k\cdot 0)= \frac{1}{2}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)=\frac{1}{2}
A_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\frac{\pi}{2})-2\cdot \cos(\pi)-1\cdot \cos(\frac{3}{2}\pi)]=\frac{3}{2}
A_2=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi)-2\cdot \cos(2\pi)-1\cdot \cos(3\pi)]=-\frac{3}{2}
B_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= 0
B_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2
B_2=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= 0
Resultado:
\Theta(x)=\frac{1}{4}+A_1\cdot \cos(x)+B_1\cdot \sin(x)+\frac{A_2}{2}\cdot \cos(2x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cos(x)+2\sin(x)-\frac{3}{4} \cos(2x)