Determinação de Distâncias Astronômicas (Paralaxe)

O método mais comum para se medir distâncias grandes, a pontos inacessíveis, é a triangulação [Tales de Mileto (c.624-546 a.C.)] - sabendo-se um dos lados de um sistema de triângulos e seus ângulos, podemos calcular todos os lados. Na figura abaixo está esquematizado, como exemplo, a maneira de medir a distância de uma árvore localizada do outro lado de um rio, sem atravessá-lo:
Tomando a árvore como um dos vértices, construímos os triângulos semelhantes ABC e DEC. BC é a linha de base do triângulo grande, AB e AC são os lados, que são as direções do objeto (a árvore) vistas de cada extremidade da linha base. Logo

Como posso medir BC, DE e EC, posso calcular o lado AB e então, conhecer a distância da árvore.
Vemos que a direção da árvore, vista de B, é diferente da direção da árvore vista de C. Esse deslocamento aparente na direção do objeto observado devido à mudança de posição do observador chama-se paralaxe (do grego paralaxis, mudança). Este é o princípio da visão esteoroscópica do olho humano, que calcula a distância aos objetos pela diferença de ângulo vista pelos dois olhos. Quanto mais distante está o objeto, menor é a paralaxe. Um aparelho profissional de medir ângulos é o teodolito.

Simulação de Paralaxe Estelar

Suponha que o ponto O seja o objeto cuja distância eu quero medir (a árvore do exemplo anterior). 2D é a linha de base do triângulo, e os ângulos e são os ângulos entre a direção do objeto visto de cada extremidade da linha base e a direção de um objeto muito mais distante, tomado como referência (pode ser uma montanha no horizonte, no exemplo anterior).
Pela trigonometria, sabemos que

Como p é conhecido (), e D também é conhecido, podemos medir a distância d. Para ângulos pequenos, a tangente do ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo medido em radianos. Se . Então:

Como p é medido em radianos, d terá a mesma unidade de D. Para um triângulo de base D, altura d, diagonal B,

medimos o ângulo p entre B e d,

para ângulos p menores que 4 graus. Transformação de graus em radianos
Em radianos, um ângulo é medido pelo arco que ele encerra, dividido pelo raio. Na figura abaixo, o arco de circunferência a corresponde ao ângulo . Logo o valor de em radianos é

O valor, em graus, de 1 radiano, será:

Paralaxe geocêntrica e heliocêntrica O mesmo método de triangulação explicado acima é usado para medir a distâncias de objetos astronômicos. Mas como esses objetos estão muito distantes, é necessário escolher uma linha de base muito grande. Para medir a distância da Lua ou dos planetas mais próximos, por exemplo, pode-se usar o diâmetro da Terra como linha de base. Para se medir a distância de estrelas próximas, usa-se o diâmetro da órbita da Terra como linha de base.

Paralaxe geocêntrica Atualmente a determinação de distâncias de planetas é feita por radar, e não mais por triangulação, mas antes da invenção do radar os astrônomos mediam as distâncias da Lua e de alguns planetas usando o diâmetro da Terra como linha de base. A figura abaixo ilustra o problema para a determinação da distância da Lua.

Se pudéssemos ver a Lua simultaneamente em 25 de abril de 2007, de Porto Alegre (esquerda) e de Paris (direita), a veríamos em posição diferente em relação às estrelas.

A posição da Lua em relação às estrelas distantes é medida duas vezes, em posições opostas na Terra, e a paralaxe corresponde à metade da variação total na direção observada dos dois lados opostos da Terra. Essa paralaxe é chamada paralaxe geocêntrica, e é expressa por:


para p sendo a paralaxe geoccêntrica.
Paralaxe heliocêntrica
A paralaxe heliocêntrica é usada para medir a distância das estrelas mais próximas. À medida que a Terra gira em torno do Sol, podemos medir a direção de uma estrela em relação às estrelas de fundo quando a Terra está de um lado do Sol, e tornamos a fazer a medida seis meses mais tarde, quando a Terra está do outro lado do Sol. A metade do desvio total na posição da estrela corresponde à paralaxe heliocêntrica, que é expressa por:


para p sendo a paralaxe heliocêntrica.

A unidade astronômica

A primeira estimativa correta do valor da Unidade Astronômica ocorreu entre 5 de setembro e 1^o de outubro de 1672, quando o planeta Marte, com magnitude=-2,3, estava muito próximo da estrela brilhante ψ₂ Aquarii de magnitude=4, e próximo da oposição de Marte, portanto próximo do perigeu. Com as observações simultâneas de Jean Richer (1630-1696) em Cayenne, na Guiana Francesa, Jean Picard (1620-1682) e Olaus Rømer (1644-1710) em Paris, Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) estimou a paralaxe de Marte como 15" entre Cayenne e Paris (7200 km de distância, 25" total, 2R_Terra) e, considerando que Marte está a 1,52 UA do Sol, estimou o valor da UA como 140 milhões de km. O valor correto é de 149,597870691 milhões de km. Para comparação, o olho humano só consegue detectar ângulos maiores que cerca de 2'=2×60".
A técnica mais precisa para determinar o comprimento da unidade astronômica é por radar. No entanto, a determinação não pode ser feita diretamente, pois se um sinal de rádio fosse emitido diretamente ao Sol, seu eco ficaria perdido no meio de todos os sinais de rádio que o Sol emite. Portanto se usa uma medida indireta. Por exemplo:
Suponha que um sinal de radar é enviado a Marte, quando este planeta está em oposição, sendo encontrado que sua distância à Terra é 78 389 294 Km. A distância média de Marte ao Sol é determinada pela terceira lei de Kepler como sendo de 1,52 UA. A distância entre Terra e Marte, para Marte em oposição, é portanto 0,52 UA. Então

A distância de qualquer objeto, com paralaxe helicêntrica p, calculada em unidades astronômicas, é dada por:

Quanto mais distante o objeto, menor a paralaxe.

O ano-luz O ano-luz (AL) é a distância percorrida pela luz em um ano. Essa distância equivale a:

velocidade da luz

Determinação da velocidade da luz
A determinação da velocidade da luz foi feita pela primeira vez em 1675, pelo astrônomo dinamarquês Olaus Rømer (1644 - 1710), medindo o intervalo entre sucessivos eclipse da lua Io, de Júpiter (P=1,769138d), para diferentes pontos da órbita da Terra.


O intervalo de tempo entre os sucessivos eclipses é o período de revolução do satélite, que pode ser calculado pela 3^a Lei de Kepler. Rømer verificou que os eclipses ficavam atrasados quando Júpiter estava mais distante da Terra, e adiantados quando Júpiter estava mais próximo da Terra. O atraso total quando a Terra ia de para era de 1000 segundos. Rømer atribuiu o efeito ao tempo que a luz levava para ir de um ponto da órbita da Terra ao outro, isto é, do tempo que a luz levava para atravessar a diferença da distância entre o satélite e a Terra.
Para ficar mais claro, vamos considerar que é a hora em que ocorre o eclipse quando a Terra está na posição . Como a luz tem velocidade finita, o eclipse só será visto na Terra num tempo posterior, dado por:

onde c é a velocidade da luz, e é a distância entre a Terra e Júpiter na posição .
Após um tempo , a Terra estará na posição , e vamos chamar de a hora prevista para acontecer o eclipse. Mas na Terra, o eclipse só será observado em:


Logo, o intervalo de tempo observado entre os eclipses, , é maior do que o intervalo de tempo real entre os eclipses, . A diferença vai ser:


Se esta diferença é de 1000 s, então:


Como a melhor estimativa para o eixo maior da órbita da Terra era 241 500 000 Km, Rømer deduziu a velocidade da luz como sendo



A distância da Terra ao Sol foi medida em 1672, medindo-se a paralaxe de Marte em oposição, e sabendo-se que a distância a Marte é de 1,52 UA, como derivado por Copérnico. Hoje sabemos que o eixo maior da órbita da Terra é 2UA=299 795 786 Km, então a velocidade da luz é:

Se um avião pudesse viajar à velocidade da luz, ele daria 7 voltas completas em torno do equador da Terra em 1 segundo. O Parsec (PARalaxe 1 SECond)
1 Parsec é a distância de um objeto tal que, um observador nesse objeto veria o raio da órbita da Terra com um tamanho angular de , ou em outras palavras, é a distância de um objeto que apresenta paralaxe heliocêntrica de .
Como a distância em unidades astronômicas, corresponde a



e um ângulo de , expresso em radianos, vale



Logo:



Embora proposta na antiguidade, a primeira medida exitosa de uma paralaxe estelar foi feita por Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) em 1838, para a estrela 61 Cygni (p~0,3"). A distância de um objeto, expressa em parsecs, é dada por:

Um parsec, portanto, é igual a 206 265 UA=3,26 anos-luz=3,086 × 10¹³ km
Resumindo as três unidades, para uma estrela com paralaxe heliocêntrica qualquer, sua distância será:

A estrela mais próxima da Terra, Próxima Centauri, está a uma distância de 4,3 AL, que é maior do que 1 pc (1,32 pc). Logo mesmo para a estrela mais próxima a paralaxe é menor do que 1 (na verdade é 0,7687±0,0003′′ (G. Fritz Benedict et al. Astronomical Journal, 118, 1086).
Até poucos anos, com os telescópios disponíveis na Terra, a maior distância de estrelas que se podia medir com precisão melhor do que 10% era 20 pc, que corresponde a paralaxes . O uso de CCD e telescópios dedicados baixou a incerteza das observações na Terra para até 1 mili-segundo de arco, similar à incerteza das medidas do satélite HIPPARCOS (High-Precision Parallax Collecting Satellite), construído para medir com alta precisão a posição e a paralaxe de 120 000 estrelas. Ele foi lançado em agosto de 1989 e operou com sucesso por 3 anos, apesar de não ter alcançado a órbita geoestacionária pretendida. É importante notar que 1 mili-segundo de arco é equivalente ao tamanho angular de uma pessoa na superfície da Lua vista da Terra. Para atingir esta precisão, foi necessário corrigir pelo efeito de desvio da luz pelo Sol previsto pela relatividade geral, e que é de 1,7 segundos de arco na borda do Sol, e 4 mili-segundos de arco a 90° do Sol. Mesmo com esta precisão só é possível medir paralaxes de objetos a 1600 anos-luz de distância, cerca de 1 centésimo do tamanho da nossa Galáxia. Em 2013 a Agência Espacial Européia lançará o satélite Gaia, com precisão de 10 microsegundos de arco.
Exemplo:

Estrela	Paralaxe	Distância
Próxima Centauri	0,772"	1,295 pc	4,223 a.l.
Sírius	0,379"	2,638 pc	8,606 a.l.
Procyon	0,286"	3,496 pc	11,404 a.l.

Qual estrela tem maior paralaxe? Qual sua distância em parsecs?