Como se calcula o comprimento da sombra?

Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distância d de uma esfera opaca de raio R'.

Por semelhança de triângulos temos que:

E portanto a altura do cone de sombra (L) é:

Onde:

• L = comprimento da sombra
• d = distância da fonte à esfera opaca
• R' = raio da esfera opaca
• R = raio da fonte

Como se calcula o raio da sombra da Terra à distância da Lua?

• L = comprimento da sombra
• R' = raio da Terra
• r(l) = raio da sombra a uma distância l da Terra

Novamente por semelhança de triângulos temos que:

E o raio da sombra à distância l da esfera opaca é:

Exemplos de cálculos de eclipses

1. Calcular o comprimento médio da sombra da Terra, considerando-se:
   • distância Terra-Sol: 149 600 000 km
   • raio da Terra: 6370 km
   • raio do Sol: 696 000 km
   Como
   

   comprimento da sombra = distância da fonte × raio da esfera raio da fonte - raio da esfera

   Obtemos:

   comprimento da sombra = 149 600 000 km × 6370 km 696 000 km - 6370 km

   ou

   comprimento da sombra = 1 381 800 km

2. Seja r o raio da Terra, R = 109r o raio do Sol, d = 23680r a distância entre o Sol e a Terra.
   
   
   • a) Qual é o comprimento do cone de sombra formado?
     

     L = d × r R-r = 23680 r2 109r-r = 219,26r

   • b) Qual é o raio deste cone a uma distância de l = 60r por onde passa a Lua?
     Como

     r(l) L-l = r L

     r(l) = r L (L-l) = r 219,26r (219,26r-60r) = 0,726 r

   • c) Sendo r_L = r/3,6 o raio da Lua, quantos diâmetros lunares cabem nessa região da sombra?

     r(l)/rL = 0,726 r r / 3,6 = 2,6

   Isto é, na distância da Lua, a umbra da Terra tem 9200 km. A penumbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua órbita é de 3400 km/hr, um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e um eclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h.

A duração e forma dos eclipses dependem da distância instantânea do Sol e da Lua, que variam devido às órbitas elípticas, e também dos ângulos no momento do eclipse, que variam devido à inclinação da órbita da Terra em torno do Sol (obliqüidade da eclíptica=23,5°), e da inclinação da órbita da Lua (5,2°).