Determinação da órbita de Marte - Método de Kepler

A tabela da última folha dá as longitudes heliocêntricas e , da Terra e de Marte respectivamente, e a elongação de Marte, para 24 datas.


A figura acima permite a visualização de , , e de . Quando é , os planetas estão em oposição, e suas longitudes são iguais. A tabela dá os dados para 12 oposições desde 1956 até 1980. Em 1609, a partir de observações similares, também sobre um período de 24 anos, Kepler formulou suas três leis governando o movimento orbital de Marte, através do método gráfico resumido abaixo. Primeira Lei. O problema consiste em traçar a órbita de Marte a partir das várias posições na tabela. Em um cálculo preliminar, Kepler encontrou que a Terra tinha uma órbita quase circular com excentricidade e = 0.017, e longitude no periélio de .
1. Desenhe esta órbita, usando um círculo de raio r. Coloque a posição do Sol a uma distância do centro do círculo na direção do periélio.
2. Agora plote as posições de Marte, como segue: Desenhe a direção (vamos chamar essa direção), que é comum para Terra e Marte na oposição 1. Note que neste ponto só sabemos a direção em que está Marte, mas não sabemos em que posição ao longo desta direção ele está. No entanto, após 1 período sideral, P, em julho de 1958, Marte retornou à mesma longitude. Sua posição agora pode ser encontrada plotando a posição da Terra no diagrama, e então desenhando a linha (vamos chamar ), na direção dada pelo ângulo . O ponto em que essa linha corta a linha é a posição de Marte.
Da mesma forma, as posições ,,..., de Marte na sua órbita podem ser encontradas para as longitudes correspondentes às 12 oposições listadas na tabela.

3. Ajuste um círculo ao polígono resultante. O centro do círculo não irá coincidir com a posição do Sol, de forma que a órbita deve ser elíptica. 4. Determine o comprimento do semi-eixo maior em unidades astronômicas, a excentricidade orbital, e, e a longitude do periélio.
Terceira Lei. 5. O período sinódico, S, pode ser encontrado a partir do intervalo médio entre oposições sucessivas. Calcule este valor para cada par de oposições listadas na tabela. Exemplo: = 36523-35726=797 dias. É preciso calcular o valor médio.
6. Calcule o período sideral de Marte, P, em dias e em anos. O período sideral é o intervalo de tempo entre longitudes iguais sucessivas! Exemplo: = 687 dias. Mais fácil ainda é utilizar o período sinódico médio calculado na questão anterior e a relação entre o período sinódico e o período sideral. Mostre que a razão é a mesma para a Terra e para Marte.
Segunda Lei. Kepler observou que o movimento longitudinal de Marte era irregular. Entre duas oposições sucessivas, separadas por um intervalo , a longitude cresce de . A velocidade angular resultante, , não era constante. Exemplo: entre 1a. e 2a. oposição, = 797 - 687 = 110 dias, , e portanto
7. Plote a variação de como uma função da longitude . Use a longitude média no intervalo. Que direções correspondem aos valores de máximo e mínimo? Para estas duas direções mostre que a área varrida pela linha unindo Marte e o Sol na unidade de tempo é sempre a mesma, lembrando que a velocidade areal é dada por:

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