Geologia : Fotometria

Fotometria é a medida da luz proveniente de um objeto. Até o fim da Idade Média, o meio mais importante de observação astronômica era o olho humano, ajudado por vários aparatos mecânicos para medir a posição dos corpos celestes. Depois veio a invenção do telescópio, no começo do século XVII, e as observações astronômicas de Galileo. A fotografia astronômica iniciou no fim do século XIX e durante as últimas décadas muitos tipos de detectores eletrônicos são usados para estudar a radiação electromagnética do espaço. Todo o espectro electromagnético, desde a radiação gama até as ondas de rádio são atualmente usadas para observações astronômicas. Apesar de que observações com satélites, balões e espaçonaves podem ser feitas fora da atmosfera, a grande maioria das observações é obtida da superfície da Terra.
Como a maioria das observações utiliza radiação electromagnética, e podemos obter informações sobre a natureza física da fonte estudando a distribuição de energia desta radiação, introduziremos alguns conceitos para a caracterização desta radiação.

$c=\lambda \nu$

comprimento de onda
freqüência
c 300 000 km/s velocidade da luz

Localização no espectro:
A radiação visível vai aproximadamente de 3900 Å (violeta) até cerca 7800 Å (vermelho).

Cor	Comprimento de onda (Å)	Freqüência (10¹² Hz)
violeta	3900 - 4550	659 - 769
azul	4550 - 4920	610 - 659
verde	4920 - 5770	520 - 610
amarelo	5770 - 5970	503 - 520
laranja	5970 - 6220	482 - 503
vermelho	6220 - 7800	384 - 482

Freqüências e comprimentos de onda para várias cores, no vácuo. Como as cores são subjetivas, pois dependem da sensibilidade de cada olho humano, a definição é um pouco arbitrária.

Grandezas Típicas do Campo de Radiação

A grandeza mais característica de um campo de radiação é uma constante chamada intensidade específica monocromática. Para melhor entender esse conceito, vamos antes revisar o conceito de ângulo sólido.

Ângulo sólido

Assim como podemos entender um ângulo plano como um setor de um círculo, definido como a razão entre o arco e o raio do círculo, podemos entender um ângulo sólido como um "setor" de uma esfera, definido pela razão entre o elemento de área na superfície da esfera e o seu raio ao quadrado:

${\alpha = \frac{a}{r}} {\omega = \frac{A}{r^2}}$

A unidade de ângulo sólido (em coordenadas esféricas d $\omega$ = sen $\theta$ d $\theta$ d $\phi$ ) é o esferorradiano (sr). O maior ângulo plano é aquele que subtende toda a circunferência do círculo, e vale 2 $\pi$ radianos; o maior ângulo sólido subtende toda a área superficial da esfera, e vale 4 $\pi$ esferorradianos (sr).

Intensidade específica

Quando a luz é emitida de uma fonte isotrópica (que emite igualmente em todas as direções), ela se expande esfericamente. É como se a fonte estivesse no centro de uma esfera, composta de 4 $\pi$ ângulos sólidos unitários, e cujo raio vai aumentando à medida que a luz se propaga. A energia que atravessa a unidade de área da fonte, por unidade de tempo e por unidade de ângulo sólido, é chamada intensidade específica:

${I_\bot = \frac{dE}{dt dA d\omega}}$

Se considerarmos apenas a energia emitida em um intervalo de freqüências [ $\nu$ , $\nu$ + d $\nu$ ], chamamos a intensidade específica de intensidade específica monocromática:

${I_{\nu\bot} = \frac{dE}{dt dA d\omega d\nu}}$

Num caso mais geral, a energia não se propaga isotrópicamente. Por exemplo, se observarmos um faixo de um projetor ou um feixe de laser. Nesse caso, a energia que atravessa a unidade de área não é a mesma em todas as direções, mas vai depender do ângulo ( $\theta$ ) entre a direção de propagação e a normal à área, ou seja:

${I_\nu = \frac{dE \cos \theta}{dt dA d\omega d\nu}}$

(1)

Na figura acima, a intensidade na direção de S é diferente do que na direção de I.
Geralmente, a intensidade específica é medida em J m^-2s^-1sr^-1Hz^-1 no sistema MKS, ou erg cm^-2s^-1sr^-1Hz^-1 no sistema cgs.
Recapitulando, a intensidade específica monocromática

é a energia por unidade de área e por unidade de tempo que está sendo emitida pela fonte, em um intervalo de freqüências

. Na posição do observador, essa energia é captada ao longo de uma direção

, que é o ângulo entre a linha de visada e a direção normal à superfície emissora, e dentro de um ângulo sólido

, que será tanto menor quanto mais distante estiver o objeto. Formalmente, a intensidade específica é definida como a energia que atravessa um elemento de área dA, por intervalo de tempo, dentro de um elemento de ângulo sólido $d\omega=sen\theta d\theta d\phi$ , na direção

, dentro de um intervalo de freqüências

.
A intensidade específica, por sua definição, não depende da distância da fonte emissora, se não houverem fontes ou absorsores de radiação ao longo da linha de visada.
Podemos também definir a intensidade específica monocromática por intervalo de comprimento de onda, lembrando que, por definição:

A intensidade específica integrada em todo o espectro de freqüências é dada por:

Fluxo

Outra quantidade de grande interesse é o fluxo F, que é a energia por unidade de área e por unidade de tempo que chega ao detector, e é o que se mede realmente. Formalmente, o fluxo em uma certa freqüência, em um dado ponto e em uma dada direção, é a quantidade líquida de energia radiante cruzando a unidade de área, por unidade de tempo, e por intervalo de freqüência, ou seja,

${dF_\nu = \frac{dE \cos\theta}{dAdtd\nu} = I_{\nu\bot} \cos\theta d\omega}$

(2)

Escrevendo o ângulo sólido explicitamente

${F_\nu = \int I_\nu d\omega = \int_0^{2\pi}\int_0^\frac{\pi}{2} I_{\nu\bot} \cos\theta {\mathrm{sen}}\,\theta d\theta d\phi}$

O fluxo integrado no espectro de freqüências será:

O fluxo portanto significa potência através de uma superfície, e é expresso em erg cm^-2s^-1, ou em watts/m².
Ao contrário da intensidade específica, o fluxo de radiação cai com o quadrado da distância (r), de forma que o fluxo que chega na Terra é muito menor do que o fluxo na superfície do astro, estando diluído por um fator de

.
Para uma estrela esférica de raio R, o fluxo na sua superfície será

onde L=Luminosidade, a energia total emitida por segundo em todas as direções.

$L=4\pi r^2 F(r)$

O fluxo a uma distância r da estrela será

Nesse caso, F(r) é o fluxo integrado sobre toda a superfície da estrela, e a luminosidade da estrela L pode ser obtida diretamente multiplicando o fluxo dela proveniente pela área sobre a qual o fluxo se distribui, integrado sobre todas as freqüências.
Para objetos extensos (os que não têm aparência estelar), podemos definir ainda o brilho superficial, que é o fluxo captado pelo observador dentro de um ângulo sólido unitário (brilho =

). Aqui o ângulo sólido

tem vértice no observador e é subentendido pela área A no objeto e, portanto, o brilho superficial é brilho por unidade de área angular. Assim como a intensidade específica, o brilho superficial não depende da distância, pois tanto o fluxo F como o ângulo sólido

diminuem com o quadrado da distância entre o objeto e o observador.
sup

Magnitudes

O brilho aparente de um astro é o fluxo medido na Terra e, normalmente, é expresso em termos da magnitude aparente m, que por definição é dada por:

Porque o brilho de um astro é medido em magnitudes? Há 2000 anos, o grego Hiparco de Nicéia (c.190-120 a.C.) dividiu as estrelas visíveis a olho nu de acordo com seu brilho aparente, atribuindo magnitude 1 à mais brilhante e 6 às mais fracas. Na definição de Hiparco, as de magnitude=1 são as vinte primeiras estrelas que aparecem após o pôr-do-sol. Na definição moderna, existem 15 estrelas mais brilhantes que magnitude 1 e 48 até magnitude 2. A olho nu, com boa acuidade e num local escuro, podemos observar até a galáxia Andrômeda (V=3.44) (se pudermos observar declinação +41°), que está a dois milhões de anos-luz de distância.
Em 1856, Norman Robert Pogson (1829-1891), do Observatório Radcliffe, em Oxford, propos (Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 17, p. 12) que o sistema de magnitudes, baseado na percepção de brilho do olho humano, é logarítmico, e o fluxo correspondente a uma estrela de primeira magnitude (m=1) era 100 vezes mais brilhante que uma estrela de magnitude 6, de modo que:
displaymath341

como na definição acima. Ou seja, por ter escala logarítmica, o olho humano consegue ver coisas 100× mais fracas que as mais brilhantes. Logo:

$m_2 - m_1 = -2,5 \log \frac{F_2}{F_1}$

Mais precisamente, 2,512⁵=100. A constante const. na definição de magnitude acima define o ponto zero da escala. Normalmente utiliza-se a magnitude aparente da estrela Vega como m=0. Vega é uma estrela B9.5IV-V, com T_ef=10105±230 K e R=2,69±0,25R_Sol, a 7,76 pc.
Para comparação,

m(Sírius)=-1,46
m(Lua cheia)=-12,8
m(Sol)=-26,74

No dia 2 de abril de 2013,

Magnitude Aparente	Visível na constelação
m(Lua)=-10,28	53,5% iluminada, em Sagitários
m(Mercúrio)=0,3	em Aquário
m(Vênus)=-3,9	em Peixes
m(Marte)=1,2	em Peixes
m(Júpiter)=-2,1	em Touro
m(Saturno)=0,2	em Libra
m(Urano)=5,9	em Peixes
m(Netuno)=8,0	em Aquário
m(Plutão)=14,1	em Sagitário

A pupila do olho humano, quando adaptada ao escuro, tem aproximadamente 8 mm. Um telescópio com 8 cm de diâmetro, tem uma área (80 mm/8 mm)²=100 vezes maior e portanto capta 100 vezes mais fótons. Desta maneira este telescópio de 8 cm de abertura permite observar 5 magnitudes mais fracas do que o olho humano, ou seja, até magnitude 6+5=11, no tempo de integração do olho humano, de 0,015 (cones) a 0,1 segundos (bastões). Normalmente leva 25 minutos para o olho humano tornar-se completamente adaptado ao escuro, isto é, com a pupila completamente dilatada. Para um campo de vista restrito, experimentos conduzidos por Heber Curtis e Henry Norris Russel no início dos anos 1900, mostraram que um olho completamente adaptado ao escuro olhando uma pequena área do céu, de 5 minutos de arco de extensão, conseguia detectar estrelas até magnitude +8,5, correspondendo a aproximadamente 200 fótons por segundo.
Como um telescópio tem uma área coletora maior do que um olho, pode coletar mais energia de um objeto com um determinado fluxo, de modo que o objeto parece mais brilhante quando visto pelo telescópio. Se uma estrela tem um fluxo F_o vista com o olho nu, então se vista por um telescópio aparecerá com um fluxo F_t dado por:

$\frac{F_t}{F_o} =\frac{D_t^2}{D_o^2}$

onde D_t é o diâmetro do telescópio e D_o o diâmetro da pupila do olho, já que toda a energia captada pelo telescópio está sendo transmitida ao olho. Se m_t e m_o são as magnitudes correspondentes,

m_t-m_o= -2,5 log₁₀(F_t/F_o)= - 5 log₁₀(D_t/D_o)

já que o fluxo medido é diretamente proporcional à área do telescópio. Definindo a magnitude limite do olho humano como +6, correspondente a um diâmetro da pupila de 8 mm, a magnitude limite de um telescópio de diâmetro D_t seria m_limite=16,5 + 5 log D_t, para D em metros, já que quanto maior o telescópio, menor o fluxo que ele consegue detectar, o que corresponde a maior magnitude. Devido às perdas de luz nos telescópios, a magnitude limite é cerca de meia magnitude menor,

m_limite=16 + 5 log D_t.

Mas um telescópio com um detector fotográfico ou eletrônico pode integrar por um tempo maior do que o olho humano. Como o fluxo integrado é proporcional ao tempo, F_limite(t)=D²t. Na prática o brilho do céu é que restringe o limite de detecção.

Sistemas de magnitudes

Quando medimos uma estrela, o fluxo obtido depende da sensibilidade espectral do equipamento, ou seja, do conjunto (telescópio + filtro + detector). Se chamamos de Φ(λ) a eficiência espectral do equipamento, temos:

onde F(λ_o) é o fluxo no comprimento de onda efetivo do equipamento.

À esquerda, imagem de Sírius A e B obtida com o telescópio de raio-X do satélite Chandra. Enquanto no visível (direita) Sírius A é 10 000 (10 magnitudes) vezes mais brilhante do que Sírius B, no raio-X Sírius B é a mais brilhante. Nas imagens, as raias são reflexo na estrutura de sustentação do equipamento.

Um sistema de magnitudes é definido pela sua eficiência Φ(λ) e por sua constante (const.). Um sistema muito usado é o sistema UBV, desenvolvido por Harold Lester Johnson (1921-1980) e William Wilson Morgan (1906-1994) em 1951. U vem de ultravioleta, B de blue (azul), e V de visual (amarelo). Estas magnitudes têm seus comprimentos de onda efetivos em 3600 Å, 4200 Å e 5500 Å.

Para determinar a constante const. do sistema, usamos estrelas padrões, ou seja, estrelas que têm magnitudes bem determinadas. No caso das magnitudes U, B e V, as respectivas constantes foram escolhidas de tal modo que U=B=V=0 para a estrela Vega (A0V). Vega é a estrela Alfa Lyrae, a uma distância de d=25 anos-luz, a 5^a estrela mais brilhante no céu e tem fluxo medidos aqui na Terra:

$F_\lambda$ ^V (V=0)=3,44 ×10^-8 J m^-2 s^-1 μm^-1

que corresponde a cerca de 1000 fótons cm^-2 s^-1 Å^-1. O número de fótons detectado no filtro V é de cerca de 10⁶ fótons cm^-2 s^-1. Com estes valores, vemos que

B-V =-2,5 log(F^o_B/F^o_V) + 0,710
U-B =-2,5 log(F^o_U/F^o_B) - 1,093

Imagem de um mesmo campo no céu no vermelho e no azul.

A magnitude do fundo do céu, à noite, por segundo de arco ao quadrado, é cerca de

Cor	Comprimento de onda	Do espaço	Lua Nova	Lua Cheia
U	3700Å	23,2	22,0	17,0
B	4400Å	23,4	22,7	19,5
V	5500Å	22,7	21,8	20,0
R	6400Å	22,2	20,9	19,9
I	8000Å	22,2	19,9	19,2
J	1,2μm	20,7	15,0	15,0
H	1,6μm	20,9	13,7	13,7
K	2,2 $\mu$ m	21,3	12,5	12,5

De dia, o limite de visibilidade do olho humano é da ordem de -3,4 magnitudes.

Índices de Cor

Em qualquer sistema de magnitudes multicor, define-se os índices de cor como a razão entre os fluxos em duas bandas (filtros) diferentes, ou equivalentemente, como a diferença entre duas magnitudes do sistema. Por exemplo,

subtraindo a magnitude V da magnitude B temos o índice de cor B-V,
subtraindo a magnitude B da magnitude U temos o índice de cor U-B.

Os índices de cor U-B e B-V são importantes para determinar a temperatura das estrelas. Vega, uma estrela branca (T_ef=10 105±230 K), tem (U-B)=(B-V)=0. O Sol, uma estrela amarela (T_ef=5778±1K), tem (U-B)=0,17 e (B-V)=+0,68.

Magnitude Absoluta

A magnitude aparente de uma estrela mede seu brilho aparente, que depende de sua distância. Por exemplo, qual estrela é intrinsicamente mais brilhante, Sírius, com m=-1,42 ou Vega, com m=0? Claro que visto aqui da Terra, Sírius é mais brilhante. Para podermos comparar os brilhos intrínsecos de duas estrelas, precisamos usar uma medida de brilho que independa da distância. Para isso, definimos como magnitude absoluta (M) a magnitude teórica que a estrela teria se estivesse a 10 parsecs de nós.

$M = -2,5 \log [F(10~pc)] + const.$

A diferença entre a magnitude aparente e a absoluta é dada por:

$m-M = -2,5 \log [F(r)] + 2,5 \log [F(10~pc)] = -2,5 \log \frac{F(r)}{F(10~pc)} $$

Como

$\frac{F(r)}{F(10~{pc})} = \frac{100~pc^2}{r^2} $$

onde R é o raio da estrela, ou seja,

$m - M = -2,5 \log \frac{100~pc^2}{r^2} $$

m - M = 5 log r -5

o chamado módulo de distância. Nesta fórmula, a distância da estrela, r, tem que ser medida em parsecs. Logo,

$r(pc) = 10^{\frac{m-M+5}{5}}$

Na nomenclatura usual, V=m_v, B e U são magnitudes aparentes e as magnitudes absolutas correspondentes são M_V, M_B e M_U.

Estrelas Brilhantes

Ordem	Estrela	Magnitude Absoluta M_V	Magnitude Aparente m_V	Distância à Terra (anos-luz)	Tipo Espectral	B-V
0	Sol	+4,72	-26,72	8 min	G2 V	0,7
1	Sírius (no Cão Maior)	+1,4	-1,46	8,6	A1 V	0,00
2	Canopus (na Carina)	-2,5	-0,72	74	F0 Ib	0,16
3	Rigel Kentaurus (Alpha Centauri)	+4,4	-0,27	4,3	G2 V	0,7
4	Arcturus (em Boötes)	+0,2	-0,04	34	K2 III	1,23
5	Vega (na Lyra)	+0,6	0,03	25	AO V	0,00
6	Capella (na Auriga)	+0,4	+0,08	41	G2 III	0,79
7	Rigel (no Órion)	-8,1	+0,12	900	B8 Ia	-0,03
8	Procyon (no Cão Menor)	2,8	+0,38	11	F5 IV	0,41
9	Archenar (em Eridanus)	-1,3	+0,46	75	B5 IV	-0,18
10	Betelgeuse (no Órion)	-5,1	+0,58	445	M2 I	1,85
11	Hadar (no Centauro)	-4,3	+0,61	300	B1 II	-0,23
12	Altair (na Águia)	+2,3	+0,77	17	A7 V	0,22
13	Acrux (no Cruzeiro)	-3,8	+0,79	270	B2 IV	-0,26
14	Aldebaran (em Touro)	-0,2	+0,87	65	K5 III	1,54
15	Spica (em Virgem)	-4,7	+0,98	260	B1 V	-0,24
16	Antares (no Escorpião)	-5,2	+1,09	600	M1 Ib	1,87

Sistema de Strömgren

Um dos sistemas de banda intermediária usados é o definido em 1963 pelo dinamarquês Bengt Georg Daniel Strömgren (1908-1987) (Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 4, p. 8) consistindo de filtros com largura entre 180 e 300 Å, centrados em 3500, 4110, 4670 e 5470 Å, cujas magnitudes são chamadas: u, v, b e y. [Begnt Strömgren. Spectral Classification Through Photoelectric Narrow-Band Photometry, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 4, 433-72 (1966).]

Sistema de Trinh X. Thuan e James E. Gunn, 1976, Publications of the Astronomical Society of the Pacific 88, p. 543

Um dos sistemas fotométricos mais usados da atualidade é o ugriz do Sloan Digital Sky Survey (SDSS), definido por Masataka Fukugita, Takashi Ichikawa, James E. Gunn, Mamoru Doi, Kazuhiro Shimasaku e Donald P. Schneider em 1996 no Astronomical Journal v.111, p.1748.

Filtro	u	g	r	i	z
Comprimento de onda central (Å)	3580	4900	6260	7670	9070
Largura de banda (Å)	640	1350	1370	1540	1470

Este sistema foi definido para ser dentro do sistema AB de magnitudes, definido por John Beverly Oke & James E. Gunn (1983, Astrophysical Journal, 266, 713), para que um objeto de magnitude zero tenha um fluxo F_ν = 3631 Jy. (1 Jy = 1 Jansky = 10^-26 W Hz^-1 m^-2 = 10^-23 erg s^-1 Hz^-1 cm^-2).

A linha contínua mostra a transmissão média no Observatório de Kitt Peak, em Tucson, Arizona, EUA, no verão. As curvas marcadas com J e K mostram as curvas de transmissão definidas por Harold Lester Johnson (1921-1980) em 1962 (Astrophysical Journal, 135, 69), enquanto as curvas marcadas com j,h, e k mostram as curvas dos filtros disponíveis no KPNO. J=1,1 a 1,4 (1,2) μm, H=1,62 μm, K=1,9 a 2,5 (2,2)μm, L=3,2 a 4,1 (3,5)μm, M=4,4 a 5,5 (5.00) μm, N=8 a 14 (9,00) μm. I é centrado em 8700Å, com largura de 2500Å, K é centrado em 2,2 μm, com 6000Å de largura (Harold L. Johnson & Aden B. Meinel. 1963, Astrophysical Journal, 138, 1317). Gerald E. Kron & J.Lynn Smith. 1951, Astrophysical Journal, 113, 324, definiram as cores R em 6800Å e I em 8250Å.

O sistema de Greenstein é composto de bandas de 100Å cada, medidas sobre a espectrofotometria obtida por Jesse Leonard Greenstein (1909-2002) com o espectrógrafo de Oke-Gunn (1983) no telescópio Hale de 5m do Monte Palomar [Jesse L. Greenstein (1986), Astrophysical Journal, 304, 334 Jesse L. Greenstein & James W. Liebert (1990), Astrophysical Journal, 360, 662; John Beverley Oke (1928-2004) & James E. Gunn (1939-) (1983), Astrophysical Journal, 266, 713, Secondary standard stars for absolute spectrophotometry].

Magnitude Bolométrica

Se tivéssemos equipamentos de fossem 100% sensíveis em todos os comprimentos de onda, teoricamente poderíamos medir o fluxo em todo o intervalo espectral. A magnitude correspondente à energia em todas as freqüências (desde os raios $\gamma$ até as ondas de rádio) é chamada de magnitude bolométrica (m_bol e M_bol).

$L=4\pi R^2 \int_0^\infty F_\nu d\nu =4\pi R^2 F_{bol}$

Na prática, a atmosfera da Terra impede a passagem de certos intervalos espectrais, de forma que determinamos a magnitude bolométrica através da magnitude visual

m_bol = m_v - C.B.

pois

$\int_0^\infty F_\nu d\nu = \int_0^V_- F_\nu d\nu + F_V + \int_V_+^\infty F_\nu d\nu$

onde C.B. é a correção bolométrica, que, por definição tem valor zero para estrelas como o Sol e valores positivos tanto para as estrelas mais frias quanto as mais quentes que o Sol. Como a magnitude absoluta bolométrica do Sol é

, a magnitude absoluta bolométrica de uma estrela qualquer é dada por

$M_{bol} = 4,72 - 2,5 \log(\frac{L}{L_\odot})$

mas precisamos levar em conta o efeito da atmosfera da Terra e do material interestelar.

Extinção Atmosférica

Transmissão da Atmosfera da Terra

Embora a atmosfera seja praticamente transparente na faixa visível (3500 Å a 6500 Å), ela absorve fortemente no ultravioleta (abaixo de 3500 Å) e em várias bandas do infra-vermelho (1 μm a 1 mm), de modo que não podemos medir raios-γ, raios-X e ultravioleta do solo, e infra-vermelho somente acima de 2000 m de altura, até cerca de 1 mm→300 GHz (microondas), quando a ionosfera reflete as ondas incidentes. No rádio, a atmosfera é transparente de 100 GHz até 10 MHz. No ultravioleta o ozônio (O₃) e a água absorvem a luz. No raio-X, o efeito fotoelétrico com átomos de nitrogênio e oxigênio absorve a luz.
Na atmosfera existem vários componentes que difundem a luz em todas as direções (moléculas, partículas sólidas de poeira e fumaça), causando uma extinção contínua, em todos os comprimentos de onda. A extinção é tanto maior quanto maior for a quantidade de ar atravessada pela luz. É por este motivo que podemos olhar diretamente para o Sol no horizonte.
A absorção se dá por vários processos atômicos e moleculares. Absorções em freqüências particulares - linhas ou bandas - se dá por excitação de moléculas e átomos, enquanto ionização ou dissociação molecular leva a absorção contínua para todos as freqüências correspondentes a energia acima da energia necessária para separar os átomos ou moléculas. A extinção pela atmosfera da Terra, incluindo absorção e espalhamento, é total exceto nas janelas visual e rádio.
O espalhamento da radiação depende do comprimento de onda da radiação e do tamanho das partículas.

Se o tamanho da partícula for muito maior do que o comprimento de onda da radiação (d » λ), o espalhamento é independente do comprimento de onda. Por isto o céu fica cinza em dias nublados: a luz do Sol é espalhada igualmente em todos os comprimentos de onda visuais e, porisso podemos fazer espectroscopia com nuvens.
Se o tamanho da partícula for similar ao comprimento de onda da radiação (d ˜ λ), como no espalhamento da luz visível pela poeira, a intensidade varia com 1/λ, chamado espalhamento de Mie [Gustav Adolf Feodor Wilhelm Ludwig Mie (1869-1957)], de modo que luz azul se espalha mais do que luz vermelha.
Se o tamanho da partícula for muito menor do que o comprimento de onda da radiação (d « λ), o espalhamento depende muito fortemente do comprimento de onda, e a intensidade varia com 1/λ⁴, chamado espalhamento de Rayleigh [John William Strutt, terceiro Barão Rayleigh (1842-1919)]. O azul do céu é causado pelo espalhamento Rayleigh pelas moléculas do ar.

A janela visual se extende desde cerca de 3200 Å a cerca de 1,4 μm. O corte no ultravioleta é causado pela fina camada de moléculas de ozônio (O₃) a uma altura da ordem de 25 km. No infravermelho, o corte é mais gradual, com uma série de janelas estreitas se estendendo até 24 μm, entre as bandas de absorção causadas principalmente pela água (H₂O) e dióxido de carbono (CO₂). Estas janelas são usadas para observações no infravermelho, principalmente em montanhas desérticas. A janela rádio se estende entre aproximadamente 8 mm e 15 m, embora haja redução por vapor de água e moléculas de oxigênio (O₂) para comprimentos de onda acima de 300 μm. O corte em comprimentos de ondas maiores se dá por reflexão crítica na ionosfera, uma camada da atmosfera acima de 100 km, onde há alta densidade de elétrons livres e íons. As ondas de rádio não podem penetrar neste plasma por que suas baixas freqüências estão abaixo da freqüência de plasma natural da ionosfera. Esta reflexão é entretanto usada para comunicação, refletindo as ondas de rádio na ionosfera. A atividade solar altera o nível de ionização da alta atmosfera, modificando as freqüências de reflexão.
A atmosfera da Terra não é estática nem horizontalmente estratificada. Ela está em constante movimento em várias escalas espaciais e temporais, desde as grandes e lentas causadas pelas frentes climáticas, até as rápidas e pequenas causadas por turbulência, devido a variações de temperatura e ventos. Estas mudanças constantes causam cintilação. Existem dois efeitos: variações da massa de ar no feixe causam flutuações na intensidade, enquanto variações no índice de refração ao longo do feixe causam variações na posição da imagem. Turbulência de pequena escala na atmosfera causa rápidas variações randômicas com escalas de segundos de arco na posição de imagens puntuais - a fonte se espalha em um disco aparente (seeing disk), se não for observada com resolução temporal da ordem de um centésimo de segundo. Esta cintilação é que limita o poder de resolução de telescópios na Terra. Os telescópios em Terra são limitados pelo seeing, e não por difração, no ótico. Como a massa de ar é maior no horizonte do que no zênite, a melhor observação é o mais próximo do zênite possível.
A atmosfera da Terra afeta as medidas, de forma que as magnitudes observadas devem ser ajustadas aos valores que teríamos se as observações fossem feitas fora da atmosfera. O efeito da atmosfera é absorver e espalhar a radiação em outras direções, processos esses que são descritos por um coeficiente de absorção k, usualmente medido em cm^-1.
Podemos expressar a extinção atmosférica em função da massa de ar atravessada pelo raio luminoso.

Seja uma faixa da atmosfera, de espessura dx, atravessada por um raio luminoso.

Como $dx=ds \cos z \rightarrow ds = \sec z dx,$ onde z é a distância zenital,

Imaginemos a atmosfera como uma camada de altura H, F_o o fluxo no topo da atmosfera e F o que chega ao observador. Então,
displaymath394

A espessura ótica é uma função da distância zenital z, e supondo que a camada atmosférica é formada por camadas plano-paralelas, ela pode ser expressa por

onde

= kH é a espessura ótica na direção do zênite, e o fluxo será:

Em magnitudes, essa equação fica:

onde

é o coeficiente de extinção, e

é a massa de ar.
Um exemplo de aplicação deste conceito é considerarmos uma estrela observada a uma distância zenital de 45°. Como sec 45°= 1,41 e usando um coeficiente K = 0,40, típico de observações óticas, obtemos F = 0,57 F_o, ou seja, a atmosfera terrestre absorve 43% da luz da estrela ao observarmos a 45° do zênite.
A diferença (m - m_o) é a extinção atmosférica em magnitudes, e é determinada através de estrelas padrões para as quais m_o é conhecido.
A constante K é característica do meio, e depende do comprimento de onda, sendo mais correto escrever

Para o sistema UBV, e para locais situados acima de 2000 m de altitude,

K(U) $\simeq$ 0,48,
K(B) $\simeq$ 0,25 e
K(V) $\simeq$ 0,14.

Os valores são cerca de 75% maiores ao nível do mar. Se observarmos uma estrela a 45° do zênite, vemos que a extinção atmosférica neste caso equivale a 0,48 sec 45°=0,68 mag em U, 0,25 sec 45°=0,35 mag em B e 0,14 sec 45°=0,20 mag em V.

Distância Zenital	Massa de ar
88°	19,79
87°	15,36
86°	12,44
85°	10,40
84°	8,90
82°	6,88
80°	5,60
75°	3,82
70°	2,90
65°	2,36
60°	2,00
50°	1,55
40°	1,30
30°	1,15
20°	1,06
10°	1,02
0°	1,00

Extinção Interestelar e Excesso de Cor

Além da extinção atmosférica, é necessário levar em conta também a extinção interestelar, devida à poeira interestelar concentrada principalmente no plano da Galáxia, e que também extingue a luz das estrelas. A extinção interestelar depende da direção em que se encontra o objeto, visto que a distribuição de matéria na nossa galáxia é não homogênea. A luz provinda de outras galáxias também sofre extinção dentro das próprias galáxias.
Se não existisse extinção, a magnitude visual absoluta M_V de uma estrela de magnitude aparente V_o, localizada a uma distância d seria:

M_V = V_o - 5 log d(pc) + 5

Considerando que a magnitude aparente V está afetada por avermelhamento, V_o=V-A_V, e a magnitude visual absoluta será:

M_V = V - A_V - 5 log d(pc) + 5

onde A_V é a extinção interestelar no visual, em magnitudes, e é da ordem de 1 magnitude por kiloparsec. Similarmente, a magnitude azul absoluta será:

M_B = B - A_B - 5 log d(pc) + 5

e o índice de cor da estrela é:

M_B - M_V = (B -V) - (A_B - A_V)

(B-V)₀ = (B-V) - E_B-V

onde (B-V)₀ = M_B - M_V é o índice de cor intrínsico e E_B-V = (A_B - A_V), é o excesso de cor. Vemos assim que, embora a magnitude aparente uma estrela dependa de sua distância, o índice de cor não depende da distância e, por isso, é muito útil para determinar a temperatura da estrela.
A extinção interestelar em magnitudes é representada pela letra A com um subscrito indicando a banda espectral a que se refere, por exemplo, a extinção interestelar na banda B é A_B e na banda V é A_V.

$A_{\lambda_1}-A_{\lambda_2} = 2,5 \{\log\[\frac{F_0$\lambda_1$}{F_0$\lambda_2$}\] - \log\[\frac{F$\lambda_1$}{F$\lambda_2$}\]\}$

onde

é o fluxo real e

o fluxo observado.

Michael J. Seaton, em seu artigo de 1979 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 187, 73, apresenta a variação da extinção com o comprimento de onda.

Edward L. Fitzpatrick & Derck Massa (2007, Astrophysical Journal, 663, 320) apresentam valores recentes.

Em princípio poderíamos obter a temperatura de uma estrela medindo o fluxo em dois comprimentos de onda diferentes, como U e B, ou B e V. A razão dos fluxos (diferença de magnitudes) é uma função somente de temperatura, já que a distância se anula. Na prática, precisamos de dois índices, (U-B) e (B-V), devido à poeira interestelar na direção da estrela, que reduz U, B e V diferencialmente, já que é maior a redução para comprimentos de onda menores. Consequentemente existe uma distorção nos valores observados dos índices em relação aos valores reais, mas podemos remover as distorções medindo dois índices, isto é, podemos corrigir por avermelhamento interestelar. Na ausência de avermelhamento interestelar, as cores (B-V) e (U-B) das estrelas (não da lei de Planck) se encontram em um curva ondulada.

Se a estrela a é encontrada fora desta curva, assumimos que ela sofreu avermelhamento interestelar e movemos a medida para cima ao longo da diagonal de inclinação conhecida

$\{\frac{E_{U-B}}{E_{B-V}}}$ = (0,72 ± 0,03)

até que esteja sobre a curva. O deslocamento de a até a', é chamado de excesso de cor, e mede o quanto a estrela está avermelhada.

A cor das estrelas muda também com a classe de luminosidade.

A correção ao fluxo observado em V, F_V^obs, também pode ser obtida do avermelhamento, já que cada tipo de poeira interestelar produz uma razão constante de fluxos:

A_V = R_V E_{B - V},

ou seja:

V_o = - 2, 5logF_V^obs - A_V + C_V

onde C_V é a constante do sistema. O valor de R_V, a razão entre o avermelhamento total e o seletivo, está entre 3,0 e 5,0, dependendo da direção na Galáxia, devido à variação no tamanho e composição química dos grãos de poeira. O valor mais provável, fora das regiões de grande extinção, é de R_V=(2,99 ± 0,27), de acôrdo com Edward L. Fitzpatrick & Derck Massa (2007, Astrophysical Journal, 663, 320). A calculadora do NED usa a recalibração do avermelhamento de Edward F. Schlafly & Douglas P. Finkbeiner 2011 (ApJ 737, 103, 2011) para as cores do SDSS e recomenda R_V=3.1. A magnitude do Sol cai de -26,7 para cerca de -15,8 no horizonte.
Uma aproximação para a absorção interestelar é A_λ = 6,5×10^-10/λ - 2,0×10^-4 mag/pc.
Desta maneira podemos obter os valores reais dos fluxos, isto é, os fluxos corrigidos pelo avermelhamento interestelar, e medir não somente a temperatura, mas também estimar a correção bolométrica C.B., que definimos como:

M_bol = V + 5 log d(pc) - 5 - C.B.. = - 2,5log L + C,

onde M_bol é magnitude bolométrica, e corresponde à luminosidade da estrela, que é integrada sobre todos os comprimentos de onda. A correção bolométrica é definida como C.B.=0 para o Sol (B-V=0,68) e é positiva tanto para estrelas mais quentes quanto mais frias que o Sol.

Seqüência Principal

Tipo	(B - V)₀	(U - B)₀	T_ef	C.B.	M_Bol	Massa ( $Massa_{Sol}$ )
O5	-0,35	-1,15	40000	4,00	-10,0	120
B0	-0,31	-1,06	28000	2,80	-6,8	17
B5	-0,16	-0,55	15500	1,50	-2,6	6
A0	0,00	-0,02	9900	0,40	0,1	2,9
A5	0,13	0,10	8500	0,12	1,7	2,2
F0	0,27	0,07	7400	0,06	2,6	1,6
F5	0,42	0,03	6580	0,00	3,4	1,25
G0	0,58	0,05	6030	0,03	4,3	1,1
G5	0,70	0,19	5520	0,07	5,0	0,9
K0	0,89	0,47	4900	0,19	5,8	0,8
K5	1,18	1,10	4130	0,60	6,7	0,65
M0	1,45	1,18	3480	1,19	7,8	0,5
M5	1,63	1,20	2800	2,30	9,8	0,15

Uma relação aproximada entre a cor (B-V) e a temperatura da estrela, entre 4 000K e 10 000K, é:

(B-V)=-0,865 + 8540K/T → T=8540K/[(B-V)+0.865]

Teoria da Radiação

Em 1859-60, os físicos encontraram um problema: como descrever matematicamente como um corpo aquecido irradia energia, isto é, quanto ele emite em cada comprimento de onda. Para abordar o problema, começaram por examinar um caso teórico simplificado, o corpo negro, definido por Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), de Heidelberg, como um objeto que absorve toda a luz que incide sobre ele, sem refletir nada da radiação. Um corpo com essa propriedade, em princípio, não pode ser visto e, portanto, é negro. Para tal corpo estar em equilíbrio termodinâmico, ele deve irradiar energia na mesma taxa em que a absorve, do contrário ele esquentaria ou esfriaria, e sua temperatura variaria. Portanto, um corpo negro, além de ser um absorsor perfeito, é também um emissor perfeito. Desde então muitos experimentos tentaram medir seu espectro, isto é, como sua intensidade varia com a freqüência.

Em 1900, o físico alemão Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) postulou que a energia eletromagnética só pode se propagar em quanta discretos, ou fótons, cada um com energia E=h × freqüência

$E = h\nu$

onde h é a constante de Planck:

$h = 6,626 \times 10^{-27}{ergs s$ = $6,626 \times 10^{-34}~{J s}$

Com esta quantização da energia, ele pode deduzir teoricamente a intensidade de um campo de radiação, como a seguir. A intensidade específica monocromática (energia por unidade de comprimento de onda, por segundo, por unidade de área, e por unidade de ângulo sólido) de um corpo que tem uma temperatura uniforme T e está em equilíbrio termodinâmico com seu próprio campo de radiação (isto é, é opaco), é chamada $I_\lambda \equiv B_{\lambda}(T)$ e é dada pela Lei de Planck:

onde E é a energia da partícula (fóton), c a velocidade da luz, e dn_b(p) é o número de fótons com momentum p, associado à energia E, e é dado pela distribuição de momentum de Bose-Einstein de um gás de bósons de spin s:
displaymath461

onde C é um multiplicador lagrangeano (número real) que depende da densidade de partículas (número de partículas por unidade de volume N) e é obtido integrando-se:

O termo (2s+1) representa o número de partículas (estados independentes) possíveis com mesma energia E, e o termo h^-3 é necessário devido ao princípio da incerteza de Heisenberg, proposto em 1927 pelo alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1976):

e define o menor tamanho possível da célula para o produto do volume de espaço e de momentum. Para um fóton, que é um bóson de massa zero e spin 1, $E=h\nu$ , $p=h\nu/c$ , $\lambda=c/\nu$ e C=0, se obtem:

$B_\lambda(T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}$

onde h é a constante de Planck e

é a constante de Boltzmann [em honra ao austríaco Ludwig Boltzmann (1844-1906)]. Para escrever a lei de Planck em termos de freqüência, precisamos utilizar

$\frac{d\nu}{d\lambda}$ = - $\frac{c}{\lambda^2}$

obtendo

$B_\nu = B_\lambda\frac{\lambda^2}{c}$

$B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}$

Esta intensidade específica não depende de qualquer propriedade do corpo a não ser sua temperatura. Qualquer corpo em equilíbrio termodinâmico emitirá fótons com uma distribuição de comprimentos de onda dada pela Lei de Planck acima. Esta radiação, chamada de radiação de corpo negro, não depende da direção de emissão e não é polarizada.

Lei de Wien

Como podemos ver da figura com a Lei de Planck, o comprimento de onda em que a intensidade é máxima varia com a temperatura.

O máximo (e o mínimo) de qualquer função é dado para o ponto em que a derivada é nula. Derivando a Lei de Planck $B_\lambda(T)$ e igualando a derivada a zero,

$\frac{dB_\lambda(T)}{d\lambda} =0$

logo

$\frac{hc}{\lambda kT} \frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)}=5$

Fazendo-se a substituição de variáveis $x\equiv\frac{hc}{\lambda kT}$ , obtém-se uma equação transcendental:

5e^-x = 5-x

que pode ser resolvida numericamente, obtendo-se:

$\lambda_{max} T = 0,0028978{K m}=28978000{K \AA} \simeq 5383\times 5383{K \AA}}$

(1)

Esta relação, encontrada empiricamente por Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864-1928) em 1893, mostra que, à medida que T aumenta,

aumenta, ou

diminui. Desta maneira se explica porque quando se aquece uma barra de ferro, ela torna-se primeiro vermelha e depois esverdeada e azulada.

Lei de Stefan-Boltzmann

O fluxo (energia por unidade de área, por segundo) de um corpo negro de temperatura T é dado por:

$F = 2\pi \int_0^{\pi/2}\cos \theta {sen} \theta d\theta \int_0^\infty B_\nu(T)d\nu = \sigma T^4$

onde $\sigma = 5,67 \times 10^{-5} ergs cm^{-2} K^{-4} s^{-1}} = 5,67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}}$ é a constante de Stefan-Boltzmann. Essa lei pode ser demonstrada considerando que:

$B(T) \equiv \int_0^\infty B_\nu d\nu=\frac{2h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3d\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}$$

e definindo-se $\alpha\equiv\frac{h\nu}{kT}$ ,

		$\frac{2h}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^4 \int_0^\infty \frac{\alpha^3d\alpha}{e^\alpha(1-e^{-\alpha})}$
		$\frac{2h}{c^2}(\frac{kT}{h})^4 [6 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^4}]$
		$\frac{2h}{c^2}(\frac{kT}{h})^4 \frac{\pi^4}{15}= \frac{\sigma}{\pi}T^4$

Como uma estrela não é um corpo negro, isto é, suas camadas externas de onde provém a radiação não estão exatamente em equilíbrio térmico, escrevemos para o fluxo da estrela:

$F \equiv \sigma T_{ef}^4}$

definindo um parâmetro chamado temperatura efetiva T_ef. Portanto, para uma estrela esférica de raio R, a luminosidade (energia total por segundo) é obtida multiplicando-se o fluxo pela área $4\pi R^2$ :

$L = 4 \pi R^2 \sigma T_{ef}^4$

A temperatura efetiva de uma estrela é portanto a temperatura de um corpo negro que emite a mesma quantidade de energia por unidade de área e por unidade de tempo.
A luminosidade do Sol, isto é, a energia total emitida pelo Sol é

, sendo que 1 Joule = 10⁷ ergs.
Como o raio do Sol é de

700 000 km, segue que a temperatura efetiva do Sol é T_ef = 5400K.
Podemos então escrever a equação de Wien aproximadamente como

$\lambda$ _maxT=5400Å×5400K

No modelo de Jorge E. Vernazza, Eugene H. Avrett & Rudolf Loeser, (1973, Astrophysical Journal, 184, 605), a maior parte do espectro visível do Sol tem origem em uma camada com cerca de 1000~km de extensão, e a temperatura varia de 9000K a 4000K. A gravidade superficial do Sol é de g=2,738 × 10⁴cm/s²=273,8 m/s².
A definição de temperatura de um objeto astronômico não é única, pois depende do método que estamos usando para medi-la. Assim, a temperatura de uma estrela medida pela lei de Wien (a partir da intensidade em um comprimento de onda), é ligeiramente diferente da sua temperatura medida pela lei de Stefan-Boltzmann (a partir da luminosidade e do raio). Esta última é chamada temperatura efetiva, enquanto a primeira é chamada temperatura de brilho. Pode-se ainda definir a temperatura de cor, determinada a partir da razão de fluxos em dois comprimentos de onda diferentes. Essas temperaturas não são iguais porque os corpos astronômicos não são corpos negros perfeitos.

Energia do Sol na Terra

A energia que atinge a Terra por unidade de área e de tempo, por definição de fluxo, é de:

onde r é a distância do Sol à Terra, de 1 unidade astronômica (UA) = 150 milhões de km, e

.
Portanto a potência luminosa interceptada pela Terra, que tem uma secção reta

, onde

é o raio da Terra

km, é dada por:

Devido à rotação da Terra, o fluxo médio incidente é obtido dividindo a potência interceptada na Terra pela área total da Terra,

A Terra absorve 61% da luz incidente, refletindo os outros 39%. A energia absorvida aquece a Terra, que irradia como um corpo negro a uma taxa

por unidade de área. Logo,

o que resulta em uma temperatura para a Terra de

K.
De fato, devido ao efeito estufa do gás carbônico (CO₂) e da água, a temperatura da Terra é de 290 K. Portanto o efeito estufa mantém a água na superfície da Terra acima do ponto de congelamento, de 273 K.
A escala de temperatura que usamos quotidianamente é a Celsius [Anders Celsius (1701-1744)], cuja divisão é também chamada de graus centígrados, pois varia de 1 a 100 do ponto de congelamento até a ebulição da água. A relação entre os dois sistema é: T(C)=T(K)-273, ou seja, 0 C=273 K.

Notas:
Max Karl Ernest Ludwig Planck nasceu em 23 de abril de 1858 na cidade de Kiel, no norte da Alemanha. Cursou a Universidade de Munique e depois foi para Berlin estudar com Hermann von Helmoltz (1821-1894) e Gustav Kirchhoff (1824-1887). Obteve seu doutorado em Munique em 1879, com uma tese sobre o segundo princípio da termodinâmica. Em 1885 tornou-se professor na Universidade de Kiel e quatro anos mais tarde na Universidade de Berlin, onde passou a catedrático em 1892. Permanceu no cargo até seus 70 anos, quando aposentou-se e passou a dar palestras sobre ciência e religião. Morreu em 4 de outubro de 1947.

Se um gás frio está na frente da fonte luminosa, não tem uma hora em que depois de bloquear luz ele fica quente e começa a emitir luz também? O que acontece com o equilíbrio termodinâmico nesse caso? Esse caso, que ocorre na atmosfera de uma estrela, é chamado equilíbrio termodinâmico local. É um conceito importante na teoria de interiores de estrelas e evolução estelar.
As camadas mais internas das estrelas são mais quentes e emitem mais radiação que as camadas mais externas. Assim, a luz (ou melhor, a radiação, pois a maior parte não é visível), sai de uma camada quente mais interna [chamemos de camada (n-1)], passa pela camada considerada (n) e atinge uma camada FRIA mais externa (n+1). Para haver equilíbrio, isto é, para a temperatura se manter, será necessário que a energia que entra, vinda da camada (n-1), seja transmitida para a camada (n+1), sem ficar "depositada" na camada n e aumentar sua temperatura. Isso, porém, não significa que a camada n é transparente, mas que a radiação vai fluir do interior da estrela para fora. Aliás, no interior da estrela, a radiação vai se deslocar somente uns poucos centímetros antes de ser reabsorvida. Mas depois ela será re-emitida em todas as direções e vai fazer um caminho em zig-zag lentamente até a superficie da estrela.
Assim, o resultado final é que a energia gerada nas reações nucleares no núcleo da estrela vai acabar sendo emitida na superfície da estrela, passando pelas camadas intermediárias sem alterar significativamente a distribuição de temperatura dessas camadas. Isso é bem diferente do equilíbrio termodinâmico per se, em que as todas as camadas têm a mesma temperatura.
O espectro emitido no centro da estrela, pelas reações nucleares, é "duro", de raios gama, mas logo vai ser "abrandado" ou ficar mais "mole" (de comprimento de onda maior e energia menor por "fóton"). Como a energia total se mantem e cada fóton tem menos energia, o número de fótons é muito maior. Nesse processo, que envolve um enorme número de eventos ou colisões entre os fótons e a matéria, o espectro será contínuo, distribuído em todas as freqüências. Ao migrar para camadas mais externas e frias, o espectro se torna cada vez mais "mole", passando a ser principalmente em raios X, ultravioleta e, finalmente, perto da superfície, no vísivel.
A "superfície" de uma estrela (fotosfera) não é uma camada de propriedades químicas e físicas distintas, como nos planetas. Toda a estrela é um gás, que absorve e reemite a radiação, de acordo com a sua temperatura. Mais no centro, o gás (na maioria hidrogênio e hélio) está todo ionizado, sendo composto de núcleos e elétrons livres. Porém a temperatura é menor na superfície, havendo átomos que podem ter elétrons em diferentes energias. Mas os elétrons não podem ficar em qualquer nível de energia - é um fato básico e muito intrigante. Eles só "aceitam" energia de comprimento de onda bem determinado (6563 Å, da linha H