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Geometria Plana: Áreas de
regiões poligonais
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- Triângulo
e região triangular
- O
conceito de região poligonal
- Unidade
de área
- Área
do retângulo
- Área
do quadrado
- Área
do paralelogramo
- Área
do triângulo
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- Comparando
áreas de triângulos
- Área
do losango
- Área
do trapézio
- Polígonos
regulares
- Elementos
de um polígono
- Áreas
de polígonos regulares
- Comparando
áreas de polígonos
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Triângulo e região triangular
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
| Triângulo ABC | Região triangular ABC |
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Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.
O Conceito de Região Poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
- A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
- Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
- Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:
- Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.
- Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Area do Rectangulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h
Area do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de
quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
- Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
- Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
Area do Paralelogramo
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.
Area do Triangulo
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.
Demonstração da fórmula
Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z
>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.
Comparação de áreas entre triangulos semelhantes
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABC
Área de RST | = | a²
r² | = | b²
s² | = | c²
t² |
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Área do Losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d
1×d
2)/2.
Area do Trapezio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.
Poligonos Regulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Elementos de um poligono regular
- Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
- Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
- Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
- Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.
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Apótema: OM,
Raios: OA,OF
Ângulo central: AOF | Apótema: OX,
Raios: OR,OT
Ângulo central: ROT |
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- Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.
Area de Poligonos Regulares
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
A = a × Perímetro / 2
Comparando Áreas entre poligonos semelhantes
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABCDE...
Área de A'B'C'D'E'... | = | s²
(s')² | = | t²
(t')² |
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Placas tectônicas de Marte foram analisadas por imagens de satélite (Foto: Google Mars/Mola Science Team)
