Estatística Exame Resolvido V-B 2013

      1.       A inspecção de azulejos de uma cerâmica antes de ser embalados, um Eng. De qualidade detecta 5, 8, 9, 10, 40 e 30 unidades defeituosas em 6 caixas contendo cada 144 azulejos. Supondo que os dados podem considerar-se como uma amostra aleatória de uma população que pode ser aproximada a uma distribuição normal. Que podemos afirmar com uma confiança de 99% acerca do erro máximo tolerado se utiliza-se a média desta amostra como estimação pontual do número promedio real das unidades defeituosas?

Dados

Quantidade de unidades defeituosas = 5+8+9+10+40+30 =102  (n)       

Quantidade total de azulejos => 1 Caixa = 144 Azulejos => 6 Caixas * 144 Azulejos = 864 Azulejos (N)

I.C = 99 %

X = 1/n ∑Xi => X = 1/6(5+8+9+10+40+30) = 102/6 = 17

Zα/2 = ± 2,576

S²x =  ∑ (Xi – X)²

S²x = (5 – 12)²+(8 – 12)²+(9 – 12)²+(10 – 12)²+(40 – 12)²+(30 – 12)²

S²x = (- 7)²+(-4)²+(-3)²+(-2)²+(28)²+(18)² = 49+16+9+4+784+324 = 1186

Sx = + √ S²x => Sx = + √1186 = 34,43835072 ↔ σx = 34,43835072

Como: μx = X ± Zα/2* σx/√n

Então:

μx = 17 ± 2,576 * 34,43835072/√102

μx = 17 ± 2,576 * 34,43835072/10,09950494

μx = 17 ±2,576* 3,409904834

μx = 17±8,783914852

μx = [8,216 ; 25,784]

R: Podemos afirmar com uma confiança de 99% que o numero real promédio das unidades defeituosas estará no interválo entre [8,216; 25,784].

       2.       A seguinte amostra (8, 5, 4, 3, 6, 8, 9, 10, 15) foi retirada de uma população com distribuição normal. Estime a média da população considerando o Interválo de confiança de 99%.

Dados

n = 9

X = 1/n ∑Xi => X = 1/9(8+5+4+3+6+8+9+10+15) = 68/9 = 7,56 ≅ 8

I.C = 99%

Zα/2 = ± 2,576

S²x =  ∑ (Xi – X)²

S²x = (8 – 8)²+(5 – 8)²+(4 – 8)²+(3 – 8)²+(6 – 8)²+(8 – 8)²+(9 – 8)²+(10 – 8)²+(15 – 8)²

S²x =(0)²+(-3)²+(-4)²+(-5)²+(-2)²+(0)²+(1)²+(2)²+(7)²

S²x = 0+9+16+25+4+0+1+4+49

S²x = 108

Sx = + √ S²x => Sx = + √108 => Sx = 10,39230485 ↔ σx = 10,39230485

Como: μx = X ± Zα/2* σx/√n

Então:

μx = 8±2,576*10,39230485/√9

μx = 8±2,576*10,39230485/3

μx = 8±2,576*3,464101617

μx = 8±8,923525765

μx = [-0,924 ; 16,924 ]

R: Podemos afirmar com uma confiança de 99% que a população média estará no interválo entre [-0,924 ; 16,924 ]

       3.       Em estudo se determinou a capacidade de produção (em botijas de 12 kg) de duas fábricas de acordo a três tipos de qualidade de gas natural como aparece a continuação:

	Qualidade 1	Qualidade 2	Qualidade 3
Fábrica 1	100	150	200
Fábrica 2	200	300	150

a)      De cada fábrica calcule a média de produção.

R: X = 1/n ∑Xi => X(Fábrica1) = 1/3(100+150+200) = 450/3 = 150

R: A média de produção da fábrica 1 é de 150

 X = 1/n ∑Xi => X(Fábrica 2) = 1/3(200+300+150) = 650/3 = 216,67≅217

R: A média de produção da fábrica 2 é de 217.

b)      De cada fábrica calcule a produção que corresponde a posição central.

1º Ordenar os dados em ordem crescente

	Qualidade 1	Qualidade 3	Qualidade 3
Fábrica 1	100	150	200

Md = n+1/2 => Md = 3+1/2 = 4/2 = 2

Md = 150/2 = 75

R: Para a fábrica 1 o valor da posição central é igual a 75.

	Qualidade 3	Qualidade 1	Qualidade 2
Fábrica 2	150	200	300

Md = n+1/2 => Md = 3+1/2 = 4/2 = 2

Md = 200/2 = 100

R: Para a fábrica 2 o valor da posição central é igual a 100.

EXAME DE ESTATISTICA RESOLVIDO 2013 V-A

       1.       A inspecção de azulejos de uma cerâmica antes de ser embalados, um Eng. De qualidade detecta 5, 8, 9, 10, e 30 unidades defeituosas em 6 caixas contendo cada 144 azulejos. Supondo que os dados podem considerar-se como uma amostra aleatória de uma população que pode ser aproximada a uma distribuição normal. Que podemos afirmar com uma confiança de 95% acerca do erro máximo tolerado se utiliza-se a média desta amostra como estimação pontual do número promedio real das unidades defeituosas?

Dados

Quantidade de unidades defeituosas = 5+8+9+10+30 = 62 (n)                 

Quantidade total de azulejos => 1 Caixa = 144 Azulejos => 6 Caixas * 144 Azulejos = 864 Azulejos (N)

I.C = 95 %

X = 1/n ∑Xi => X = 1/5(5+8+9+10+30) = 62/5 = 12,4 ≅ 12

Zα/2 = ± 1,960

S²x =  ∑ (Xi – X)²

S²x = (5 – 12)²+(8 – 12)²+(9 – 12)²+(10 – 12)²+(30 – 12)²

S²x = (- 7)²+(-4)²+(-3)²+(-2)²+(18)² = 49+16+9+4+324 = 402

Sx = + √ S²x => Sx = + √402 = 20,04993766 ↔ σx = 20,04993766

Como: μx = X ± Zα/2* σx/√n

Então:

μx = 12 ± 1,960 * 20,04993766/√62

μx = 12 ± 1,960 * 20,04993766/7,874007874

μx = 12 ±1,960 * 2,546344629

μx = 12±4,9908

μx = [7,0092 ; 16,9908]

R: Podemos afirmar com uma confiança de 95% que o numero real promédio das unidades defeituosas estará no interválo entre [7,0092 ; 16,9908].

        2.       Existem 3 estradas para viajar da cidade A até a B. Por dados estatísticos se conhece que a probabilidade de acidente em cada uma das estradas é de 1/20; 1/30; 1/25 respectivamente. Ademais se sabe que os viajantes têm preferência pela estrada II, pela qual onde transitam a metade dos veículos enquanto que a outra metade dos veículos transitam em quantidades iguais pelas estradas I e III. Qual a probabilidade de que aconteça um acidente na viagem da cidade A até a B?

Dados

Probabilidade de acidentes por estrada:

P (I) = 1/20

P (II) = 1/30

P (III) = 1/25

Preferencia estrada II = 50%

Preferencia estrada I = 25%

Preferencia estrada III = 25%

P (IUIIUIII) = P(I) + P(II) + P(III) – P(I∩II∩III)

P (IUIIUIII) = 1/20+1/30+1/25 – (1/20*1/30*1/25)

P (IUIIUIII) = 0,05+0,03333+0,04 – (0,05*0,03333*0,04)

P (IUIIUIII) = 0,12333 – 0,00006666

P (IUIIUIII) = 0,12326334 * 100

P (IUIIUIII) = 12,326334%

R:  A probabilidade de acidente da cidade A a B é de 12,326334%.

       3.       Em estudo se determinou a capacidade de produção (em botijas de 12 kg) de duas fábricas de acordo a três tipos de qualidade de gas natural como aparece a continuação:

	Qualidade 1	Qualidade 2	Qualidade 3
Fábrica 1	100	150	200
Fábrica 2	200	350	150

a)      De cada fábrica calcule a média de produção.

R: X = 1/n ∑Xi => X(Fábrica1) = 1/3(100+150+200) = 450/3 = 150

R: A média de produção da fábrica 1 é de 150

X = 1/n ∑Xi => X(Fábrica 2) = 1/3(200+350+150) = 700/3 = 233,3333 ≅ 233

R: A média de produção da fábrica 2 é de 233.

b)      De cada fábrica calcule a produção que corresponde a posição central.

1º Ordenar os dados em ordem crescente

	Qualidade 1	Qualidade 2	Qualidade 3
Fábrica 1	100	150	200

Md = n+1/2 => Md = 3+1/2 = 4/2 = 2

Md = 150/2 = 75

R: Para a fábrica 1 o valor da posição central é igual a 75.

	Qualidade 3	Qualidade 1	Qualidade 2
Fábrica 2	150	200	350

Md = n+1/2 => Md = 3+1/2 = 4/2 = 2

Md = 200/2 = 100

R: Para a fábrica 2 o valor da posição central é igual a 100.

Exercícios resolvidos de Estatística (Distribuição Normal / t de Student)

    1.  O gerente do controlo aéreo do aeroporto de São Paulo está interessado em conhecer o tempo de aterrissagem dos aviões modernos 737, medindo esse tempo entre o instante em que o piloto inicia a operação de descida e o instante em que o avião abandona a pista principal.

Se uma amostra aleatória de 33 aviões tem média igual a 21 minutos e desvio padrão = 4,5 minutos, quais as médias da população, considerando o I.C = 90% e I.C = 95%.

Solução

n = 33 > 30 => distribuição normal (Zα/2)

X = 21

Sx = 4,5 como σx é desconhecido; neste caso vamos assumir que Sx = σx, pois que não nos é possivel usar a distribuição de t de Student neste caso.

I.C1 = 90%

I.C2 = 95%

μx = ?

Fórmula

          

μx = X ± Zα/2* σx/√n

Para I.C1 = 90% teremos

μx = 21 ± 1,645*4,5/√33

μx = 21±1,645*0,783

μx =21±1,289

μx = [ 19,71  ; 22,29]

Para I.C2 = 95% teremos

μx = 21 ± 1,960*0,783

μx = 21 ± 1,535

μx = [19,47; 22,54]

2.      Depois de entrevistar 16 gerentes júniores de uma grande empresa com centenas de  profissionais desse cargo, o analista de salários de uma empresa de recrutamento obteve a  média de salários anuais iguais a $ 33.500 com desvio de $ 8,150. Considerando que os salários têm distribuição normal, estime a média dos salários anuais dos gerentes dessa empresa com I.C = 95%.

Solução

Dados

n = 16

_

X = 33.500

Sx = 8,150

I.C = 95%

μx = ?

g.l = n – 1 = 16 – 1 = 15

Como σx é desconhecido e n<30 logo a distribuição é de t de student.

μx = X ± tα/2*Sx/√n

μx = 33.500 ± (2,131*8,150/√16)

μx = 33.500±(2,131*8,150/4)

μx = 33.500±(2,131*2,038)

μx = 33.500±4,343

μx = [33495,66; 33504,34]

     3.       O desvio padrão de uma população é 12. Qual o tamanho da amostra se o erro de estimativa deve ser igual a 2, e o I.C = 90%.

Solução

Dados

σx = 12

n = ?

e = 2

I.C = 90%

Sabe-se que: e = Zα/2* σx/√n Logo:

√n = Zα/2* σx/e => n = (Zα/2* σx/e)²

n = (1,645*12/2) ² = (1,645*6) ² = (9,87) ² = 97,4≅ 97

    4.       De uma população com desvio padrão 12, foi retirada uma amostra aleatória de tamanho n = 100 com média = 81. Estime a média da população para os I.C1 = 90%, I.C2 = 95% e I.C3 = 99%.

Solução

Dados

σx = 12

n = 100

_

X = 81

μx = ?

I.C1 = 90%

I.C2 = 95%

I.C3 = 99%

μx = X ± Zα/2* σx/√n

PARA I.C1 = 90% teremos:

μx = 81±1,645*12/√100

μx = 81±1,645*12/10

μx = 81±1,645*1,2

μx = 81±1,974

μx = [79,03 ; 82,97]

PARA I.C2 = 95% teremos:

μx = 81±1,960*1,2

μx = 81±2,352

μx = [78,65 ; 83,35]

PARA I.C3 = 99% teremos:

μx = 81±2,576*1,2

μx = 81±3,091

μx = [77,91; 84,09]