Estatística Aula 02 - Probabilidade

Unidade 2. Probabilidade

1.1. Espaço Amostral

1.2. Operações entre eventos

Espaço Amostral

É o conjunto de todos possíveis e diferentes resultados de um experimento aleatório.

Experimento aleatório é aquele experimento que não é possível antecipar-se o resultado.

Aleatório quer dizer “calhar”, por exemplo o lançamento de uma moeda, não se sabe se sairá cara ou coroa, então é um experimento aleatório.

Lançamento de um dado

Denotação Construtiva

S= {n Є N; n ≤ 6}

Denotação Tabular

S= {1, 2, 3, …, 6}

Evento: É um subconjunto do espaço amostral (S).

Ex: Lançamento de uma moeda os eventos são dois; cara ou coroa.

Ocorrência de Um Evento

Seja A um certo evento do experimento E diremos que A ocorre quando ao realizar o experimento E o resultado que obtemos é um ponto amostral que pertence a A.

Evento Certo

Um evento chama-se certo se sempre que se realiza o experimento este ocorre.

Evento impossível

Um evento se denomina impossível se para toda a realização do experimento este nunca ocorre (Ø).

Complemento de Um Evento A

Seja um evento A o evento que não ocorre em A, se denomina complemento de A^c   

Ex: Num experimento do lançamento de um dado o complemento B que o dado mostre um número par.

B = {1, 3, 5} Ímpares

B^c = {2, 4, 6} Pares

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Família de Eventos

Dado um experimento (fenómeno aleatório), uma família de eventos A, B, C está dada por aqueles eventos  que podem ocorrer quando o experimento E se realize.

Ex: Considere o experimento E extrair uma bola de uma caixa que tem 9 bolas numeradas de 1 à 9. Uma das famílias de eventos deste experimento pode ser formada pelos seguintes eventos:

- A: que a bola extraída seja número par

- B: que a bola extraída seja ímpar

-C: que a bola extraída seja múltiplo de 3

-D: que a bola extraída seja múltiplo de 4

-E: que a bola extraída seja divisor de 24.

A – {2, 4, 6, 8}

B – {1, 3, 5, 7, 9}

C – {3, 6, 9}

D – {4, 8}

E – {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Subevento de um Evento

Um evento B é subevento do evento A se para toda realização do experimento E em que o evento B ocorre, o evento A também ocorre; e designa-se BCA (B contido em A)

Exemplo: A família dos eventos no exemplo anterior das bolas e da urna (caixa), o evento D é subevento do evento A.

Igualdade de Eventos

Se A é subevento de B e ao mesmo tempo B é subevento de A, então se diz que A e B são eventos equivalentes e se denota com símbolo de igualdade A = B.

Os eventos são equivalentes se têm os mesmos pontos amostrais de forma a ser possível substituir um pelo outro.

1.2. Operações entre eventos

Intersecção ou Multiplicação de Eventos

Não é mais do que a ocorrência simultânea de dois eventos, e se denota A . B ou AΠB

A = {0; 1; 3; 4; 5}

B = {1; 3; 6; 8; 9}

AΠB = {1; 3}

A = {3; 4; 5; 6; 7; 8;}

B = {4; 6; 8; 10; 12}

C = {1; 2; 3; 4; 6; 10}

AΠBΠC = {4; 6}

Eventos Mutuamente Excluentes

Quando a sua intersecção é nula.

AΠB = Ø

     ou

A . B = Ø

Também é importante saber que um evento A e o seu complemento A^c são eventos mutuamente excluentes, a sua intersecção é nula (Ø)

União de Eventos

É a ocorrência de 2 ou mais eventos, sem que se repitam os elementos.

Ex: A = {2; 4; 6; 8}

       C = {3; 6; 9}

       A U C = {2; 3; 4; 6; 8; 9}

Eventos Exaustivos

Os eventos são exaustivos quando a união deles é igual ao espaço amostral.

Ex: B = {1; 3; 5; 7; 9}

      E = {1; 2; 3; 4; 6; 8}

Unidade 2. Probabilidade

2.1. Diferentes enfoques da definição de probabilidade

2.2. Cálculo de probabilidades em espaços amostrais finitos e equiprováveis

Dado um espaço amostral finito, um evento simples são aqueles que têm um só ponto amostral.

Ex: No lançamento do dado cada evento tem 1 só ponto amostral, perfazendo 6 no total.

Seja G um conjunto de todos eventos simples em A tal que (GCA). Como em A existem tantos eventos simples como pontos amostrais, tenha o espaço amostral neste caso.

G = { {e1}, {e2}, ... , {en} }

GCA = { {ei} / ei ϵ S, i = 1, 2 ... n }

Se os eventos que pertencem a G são equiprováveis (eventos com igual probabilidade de ocorrer), então se diz que S é um espaço amostral finito e equiprovável.

Como A é um conjunto de todos elementos de S então haverá eventos em A que possam expressar a união de eventos de G.

A = {2, 4, 6} = { {2} U {4} U {6} }

Chamaremos P em A a probabilidade do evento A.

P(A)

Definição de probabilidade: Se A é um conjunto de eventos correspondente a um espaço amostral finito e equiprovável S e o conjunto de todos eventos simples de A, então se A é um evento A que se pode expressar como a união de m eventos de n eventos simples pertencentes a S a probabilidade do evento A será:

P(A) = m / n

Ex: Para o experimento de lançamento de um dado que resulta números pares.

A = {2, 4, 6} => A = { {2} U {4} U {6} }

n = 6

m = 3

P(A) = 3 / 6 = 1/2 = 0.5 = 50%

Definição clássica de probabilidade

Segundo Laplace se S é um espaço amostral finito e equiprovável então para qualquer evento A em S a probabilidade de ocorrência de um evento A será:

P(A) = N(A) / N(S)

Onde:  N(A) => Eventos Favoráveis

             N(S) => Eventos Possíveis

Propriedades das Probabilidades

P.1. Para cada A do conjunto A P(A) ≥ 0

P.2. Para o espaço amostral S se cumpre que P(S) = 1

P.3. Se A e B são eventos de um conjunto A, tais que A . B = ф então se cumpre que P(AUB) = P(A) + P(B)

P.4. A probabilidade de um evento impossível é igual a zero => P(ф) = 0.

P.5. Se A é um evento aleatório do espaço de probabilidade (S, A, P), então a

P(Ac) = 1 – P(A)

P.6. Se A e B são eventos de possibilidade (S, A, P) do espaço amostral, então:

P(A . Bc) = P(A) – P(A . B)

P.7. Se A e B são eventos aleatórios do espaço de probabilidade (S, A, P), então:

P(AUB) = P(A) +P(B) – P(A . B)

P.8. Se A e B são eventos aleatórios do espaço de probabilidade (S, A, P) tal que ACB ou seja A é um subevento de B           P(A)≤P(B)

P.9. Se A1, A2, ... , An eventos aleatórios do espaço de probabilidade então:

P(A1UA2UAn) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Diferentes formas de selecção de amostras ou de realizar amostragem

Amostra: É uma parte de uma população.

Amostragem: São ecperimentos que consistem em seleccionar vários componentes de uma população e analizar certa qualidade.

Ex: Uma urna que contém 4 bolas numeradas de 1 a 4, uma amostra de tamanho 2 pode ser extraída aleatoriamente da seguinte forma:
1º Se extrai a 1ª bola se aponta o número e volta a devolver a bola na urna, faz-se o mesmo com uma 2ª, 3ª e 4ª bola; este tipo de amostragem chama-se amostragem com reposição ordenado.

N(S) = M^n

Onde: M => Espaço amostral

n=> tamanho da amostra

2º Se extrai a 1ª bola e depois a 2ª e 3ª bola até a última sem reposição; este tipo de amostragem chama-se amostragem sem reposição ordenado. 

N(S) = n1X1...n2X2...n3X3...nnXn

Onde: n=> número total de elementos

X=> número possíveis de elementos da amostra extraída 

3º Amostragem sem reposição não ordenado

Calcula-se usando a seguinte fórmula:

N(S) = n!/k!(n-k)!