Teoria : Modelagem Digital de Terreno

O que é o modelo digital de terreno?

• É uma representação matemática da distribuição espacial da característica de um fenômeno vinculada a uma superfície real. A superfície é em geral contínua e o fenômeno que representa pode ser variado. Dentre alguns usos do MNT pode-se citar (Burrough, 1986):
  • Armazenamento de dados de altimetria para mapas topográficos;
  • Análises de corte-aterro para projeto de estradas e barragens;
  • Elaboração de mapas de declividade e exposição para apoio a análise de geomorfologia e erodibilidade;
  • Análise de variáveis geofísicas e geoquímicas;
  • Apresentação tridimensional (em combinação com outras variáveis).
• Para a representação de uma superfície real no computador é indispensável a criação de um modelo digital, podendo ser por equações analíticas ou por uma rede de pontos na forma de uma grade de pontos regulares e ou irregulares. A partir dos modelos pode-se calcular volumes, áreas, desenhar perfis e seções transversais, gerar imagens sombreadas ou em níveis de cinza, gerar mapas de declividade e exposição, gerar fatiamentos em intervalos desejados e perspectivas tridimensionais.
• No processo de modelagem numérica de terreno podemos distinguir três fases: aquisição dos dados, geração de grades e elaboração de produtos representando as informações obtidas.

Quais são as fontes de informações disponíveis?

• Os dados de modelo numérico de terreno estão representados pelas coordenadas xyz, onde z, o parâmetro a ser modelado, é função de xy, ou seja: z=f(x,y). Estes dados são usualmente adquiridos segundo uma distribuição irregular no plano xy, ou ao longo de linhas com mesmo valor de z ou mesmo com um espaçamento regular.
• A aquisição destes dados é realizada por levantamentos de campo, digitalização de mapas, medidas fotogramétricas a partir de modelos estereoscópicos e dados altimétricos adquiridos de GPSs, aviões e satélites. Entretanto as aplicações ou produtos de MNT não são elaborados sobre os dados amostrados, mas sim dos modelos gerados no formato de grade regular ou irregular. Estes formatos simplificam a implementação dos algoritmos de aplicação e os tornam mais rápidos computacionalmente.
• Os métodos de aquisição de dados podem ser por pontos amostrados com espaçamento irregular e regular bem como por mapa de isolinhas.
  • Amostragem por pontos:
    • O cuidado na escolha dos pontos e a quantidade de dados amostrados estão diretamente relacionados com a qualidade do produto final de uma aplicação sobre o modelo. Para aplicações onde se requer um grau de realismo maior, a quantidade de pontos amostrados, bem como o cuidado na escolha desses pontos, ou seja a qualidade dos dados, são decisivos. Quanto maior a quantidade de pontos representantes da superfície real, maior será o esforço computacional para que estes sejam armazenados, recuperados, processados, até que se alcance o produto final da aplicação.
• Amostragem por Isolinhas
  • Um mapa de isolinhas é a representação de uma superfície por meio de curvas de isovalor. Nos mapas topográficos as isolinhas foram impressas com o uso de equipamentos, como "stereoplotters", sobre uma base composta de fotografias em estéreo obtidas por aerolevantamento. Nestes mapas topográficos existem ainda pontos amostrados irregularmente que foram obtidos por trabalhos de campo.

Mapa plano-altimétrico.

• A aquisição das isolinhas pode ser efetuada por meio de digitalização manual com uso de uma mesa digitalizadora, ou através de um processo automático por meio de "scanner". A digitalização manual consiste na operação de identificação de uma isolinha com um valor de cota e em aquisição pelo operador por um processo onde segue-se a linha ao longo do mapa. Na digitalização com o uso de "scanner", é obtida uma matriz de pontos onde podem ser identificadas as isolinhas e os valores de cota. Processos de vetorização que sigam uma isolinha, transformam-na em uma seqüência de pontos com coordenadas xy de mesmo valor em z, para cada isolinha.

O que são grades regulares retangulares?

• A grade retangular ou regular é um modelo digital que aproxima superfícies através de um poliedro de faces retangulares. Os vértices desses poliedros podem ser os próprios pontos amostrados caso estes tenham sido adquiridos nas mesmas posições xy que definem a grade desejada.

Modelo de superfície gerada por uma grade retangular.

• A geração de grade regular ou retangular deve ser efetuada quando os dados amostrados na superfície não são obtidos com espaçamento regular. Assim, a partir das informações contidas nas isolinhas ou nos pontos amostrados, gera-se uma grade que representa de maneira mais fiel possível a superfície. Os valores iniciais a serem determinados são os espaçamentos nas direções x e y de forma que possam representar os valores próximos aos pontos da grade em regiões com grande variação e que, ao mesmo tempo, reduzam redundâncias em regiões quase planas.
• O espaçamento da grade, ou seja a resolução em x ou y, deve ser idealmente menor ou igual a menor distância entre duas amostras com cotas diferentes. Ao se gerar uma grade muito fina (densa), ou seja com distância entre os pontos muito pequena, existirá um maior número de informações sobre a superfície analisada necessitando maior tempo para sua geração. Ao contrário, considerando distância grandes entre os pontos, será criado uma grade grossa que podendo acarretar perda de informação. Desta forma para a resolução final da grade deve haver um compromisso entre a precisão dos dados e do tempo de geração da grade.
• Uma vez definida a resolução e conseqüentemente as coordenadas de cada ponto da grade, pode-se aplicar um dos métodos de interpolação para calcular o valor aproximado da elevação: vizinho mais próximo, média simples, média ponderada, média ponderada por quadrante e média ponderada por cota e por quadrante.
• Uma grade regular pode ainda ser gerada a partir de outra grade regular ou de uma irregular. Para a geração de uma nova grade regular a partir de outra grade retangular podem ser utilizados os interpoladores linear e bicúbico. Para a geração de grade retangular a partir de um TIN ("Triangular Irregular Network") pode-se ajustar uma superfície plana ou uma superfície de quinto grau, que garante suavidade ao modelo.

O que são grades irregulares triangulares?

• Na modelagem da superfície por meio de grade irregular triangular, cada polígono que forma uma face do poliedro é um triângulo (veja figura abaixo). Os vértices do triângulo são geralmente os pontos amostrados da superfície. Esta modelagem permite que as informações morfológicas importantes como as descontinuidades, representadas por feições lineares de relevo (cristas) e drenagem (vales), sejam consideradas durante a geração da grade triangular, possibilitando modelar a superfície do terreno preservando as feições geomórficas da superfície.

Modelo de superfície gerada por grade triangular

• O número de redundâncias é bastante reduzido comparado a grade retangular, uma vez que a malha é mais fina em regiões de grande variações e mais espaçada em regiões quase planas. As descontinuidades da superfície podem ser modelados através de linhas e pontos característicos.
• Esta grade tem a vantagem de utilizar os próprios pontos amostrados para modelar a superfície, sem a necessidade de qualquer tipo de interpolação sobre os mesmos. A desvantagem da grade irregular é que os procedimentos para obtenção de dados derivados de grades triangulares tendem a ser mais complexos e consequentemente mais demorados que os da grade retangular.
• Os métodos para a geração de grade triangular são divididos em método com as linhas de quebra e método sem as linhas de quebra.
  • Durante a geração de grades triangulares com as linhas de quebra, estas linhas de quebra (que modelam as informações morfológicas de descontinuidade), são incorporadas à triangulação, constituindo arestas de triângulos. O modelo final terá estas informações adicionais de linha de quebra incorporadas, possibilitando uma representação mais fiel do terreno, uma vez que não suaviza a superfície ao longo de feições como vales e cristas.
  • O método sem linhas de quebra realiza a triangulação sem considerar as linhas de quebra, resultando em um modelo de terreno suavizado também ao longo das linhas de quebra.

O que são interpoladores?

• São utilizados para geração de grade retangular a partir de amostras. Os métodos de interpolação mais utilizados são:
  • Vizinho mais Próximo - para cada ponto xy da grade é atribuído a cota da amostra mais próxima ao ponto. Este interpolador deve ser usado quando se deseja manter os valores de cotas das amostras na grade sem gerar valores intermediários.

Valor de cota (+) equivale ao valor amostrado mais próximo (*).

• Média Simples - o valor de cota de cada ponto da grade é estimado a partir da média simples das cotas dos 8 vizinhos mais próximos desse ponto. Utilizado geralmente quando se requer maior rapidez na geração da grade, para avaliar erros grosseiros na digitalização.

, onde:

• n = número de vizinhos
• z = valor de cota dos 8 n vizinhos
• i=1
• f(x,y) = função interpolante

Valor da cota (+) obtido a partir dos 4 vizinhos amostrados mais próximos (*)

• Média Ponderada - o valor de cota de cada ponto da grade é calculado a partir da média ponderada das cotas dos 8 vizinhos mais próximos a este ponto, por uma função que considera a distância do ponto cotado ao ponto da grade.

d = ((x - x₀)² + (y - y₀)²)^1/2 d = distância euclidiana do ponto interpolante ao vizinho i

w(x,y) = (1/d)^u=1 u = 1 = expoente da função de ponderação

, onde:

• w(x,y) - função de ponderação
• f(x,y) - função de interpolação
• Produz resultados intermediários entre o interpolador de média simples e os outros interpoladores mais sofisticados, num tempo de processamento menor.

• Média Ponderada por Quadrante - Calcula a média ponderada utilizando a função de interpolação anterior. É considerado uma amostra por quadrante (total de 4 amostras) e o número de pontos amostrados é igual para cada um dos quadrantes. Dev-se utilizar quando as amostras são todas do tipo ponto.

Valor de cota por quadrante com peso proporcional ao inverso da distância dos valores amostrados.

• Média Ponderada por Cota e por Quadrante - este interpolador também realiza a mesma função de interpolação vista anteriormente. Além da restrição de quadrante do método anterior, o número de amostras por valor de elevação é limitado. É recomendado quando as amostras são do tipo isolinhas.

Valor da cota obtido pela média ponderada de cotas das isolinhas por quadrante.

Como se gera uma grade retangular a partir de uma grade retangular?

• A geração de uma nova grade retangular a partir de uma grade retangular anterior elaborada, também conhecido por refinamento da grade, consiste em diminuir o espaçamento entre pontos da grade, adensando-a. Estes pontos internos ao retalho apresentam valor de cota z da nova grade estimados através dos interpoladores bicúbico e bilinear.

Como se estima com o interpolador bicúbico?

• Para realizar um refinamento bicúbico em um ponto P são considerados os 16 vizinhos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e Q, sendo quatro pontos extremos da célula que contém o ponto P e os pontos extremos das células adjacentes aos primeiros quatro pontos.

• Para avaliar o valor da cota no ponto P usa-se a seguinte estratégia:
  • Calcula-se os valores de cota dos pontos R, S, T, e U a partir de uma interpolação cúbica (2-D) entre os valores de cota dos pontos ABCD, EFGH, IJKL e MNOQ, respectivamente;
  • A partir dos valores de cota dos pontos R, S, T e U obtém-se o valor da cota do ponto P utilizando o mesmo interpolador cúbico.
• O refinamento bicúbico, apesar de ser mais lento computacionalmente que o bilinear, fornece resultados melhores pois garante continuidade de primeira e segunda ordem entre as funções que representam cada célula do modelo. Desta forma a superfície resultante é suave nos pontos da grade e também ao longo dos segmentos que formam os retângulos ou seja, a grade é mais suave e cada retalho da grade é contínuo e suave em relação aos seus vizinhos.

Como se estima com o interpolador bilinear?

• Para se calcular a superfície bilinear, para uma célula da grade aproveita-se as características de ordenação das posições dos elementos das células e otimiza-se o procedimento que implementa este interpolador.
• Considera-se uma célula da grade formada pelos pontos vértices A, B, C e D, e um ponto genérico situado no interior da célula M.

• O valor em M é função de: M=f(u,v), (u,v) em (0,1). A interpolação bilinear sobre a célula ABCD é realizada pela seguinte seqüência:
  • Interpola-se linearmente os pontos E e F a partir dos pontos C e D, e A e B, respectivamente;
  • Interpola-se o ponto M linearmente a partir dos pontos E e F. Assim, o valor de cota z_m é :

z_m = z_E * (1-v) + z_F * v

z_m = v * (u * z_B + (1-u) * z_A) + (1-v) * ( u * z_D + (1-u) * z_C)

(u,v) normalizados em (0,1)

• Este método é mais rápido computacionalmente em relação ao interpolador bicúbico, com desvantagem de produzir superfícies pouco suavizadas, devendo ser usado quando não se necessita de uma aparência suave da superfície.

Como se gera uma grade retangular a partir de um TIN?

• A conversão da grade triangular para a grade retangular pode ser necessária quando se deseja uma forma matricial para o modelo numérico de terreno. Deste modo as informações do terreno modeladas por uma grade triangular podem ser analisadas com outras informações do tipo matricial. O processo de conversão utiliza o ajuste de uma superfície a cada triângulo, sendo as superfícies mais usuais as seguintes: Plano, Quíntico considerando linhas de quebra e Quíntico sem linhas de quebra.

Como se gera uma grade retangular com superfície plana?

• O plano ajustado a cada retalho triangular da grade determinar os valores de z em cada posição xy dentro do triângulo. A equação de uma superfície plana pode ser expressa por: Ax +By +Cz +D=0.
• As superfícies de retalhos diferentes se encontram no lado comum destes triângulos sem continuidades suaves.

Como se gera uma grade retangular com superfície quíntica sem linhas de quebra?

• Linhas de quebra são linhas que definem descontinuidades na superfície para os dois diferentes lados da linha, como linhas de vale ou de crista. Um rio por exemplo pode ser editado como uma linha de quebra em que ao longo de suas margens há uma descontinuidade de relevo, sem nenhum valor de cota a ele associado. Estas linhas de quebra podem ser ou não consideradas na geração de uma grade triangular e o interpolador quíntico sem linhas de quebra não as considera.
• A superfície ajustada ao retalho da grade é um polinômio do quinto grau, definida por: . A utilização deste interpolador permite gerar uma superfície mais suave quando comparada com outra grade gerada pelo interpolador linear.

Grade triangular sem linha de quebra.

• Recomendado quando deseja-se uma superfície suave e não há linhas de vale ou crista muito realçadas (linhas de quebra) no modelo numérico do terreno.

Como se gera uma grade retangular com superfície quíntica com linha s de quebra?

• Este interpolador difere do anterior apenas no que se refere às linhas de quebra. Utiliza a mesma superfície de quinto grau para ajustar os retalhos da grade, porém o algoritmo reconhece a linha de quebra e a superfície ao longo dela não será suave.

Grade triangular com linhas de quebra.

• Recomendado para situações onde as linhas de quebra podem ser digitalizadas para salientar feições lineares de relevo e deseja-se uma superfície suave.

Como visualizar um modelo de terreno por meio de uma imagem?

• Gerando imagens em níveis de cinza a partir de um MNT considerando o intervalo de espaço de cores entre 0 e 256 ou imagens sombreadas que consideram o azimute e de elevação da fonte de luz.

Como se gera uma Imagem em nível de cinza?

• A geração de imagem para um modelo numérico de terreno, onde os pixels conterão níveis de cinza, consiste em distribuir os valores mínimos e máximos das cotas, obtidas a partir da grade retangular, em níveis de cinza de 0 a 256 linearmente. Assim, cada célula da grade corresponde a um pixel na imagem de saída com os valores mínimos de cota serão representados por pixels escuros e os valores máximos por pixels claros.

Como se gera uma imagem sombreada?

• A imagem sombreada gerada a partir de um MNT possibilita visualizar as diferenças de relevo no modelo. A imagem sombreada é gerada a partir de uma grade regular sobre a qual é aplicado um modelo de iluminação. O modelo de iluminação determina a intensidade de luz refletida em um ponto da superfície considerando uma fonte de luz. O modelo depende da fonte de luz, que podem ser a luz ambiente ou outra fonte de luz, e da reflexão da superfície.
  • A luz ambiente proporciona uma intensidade de iluminação a da superfície e pode ser modelada por I =I_aK_a.., onde Ia é a intensidade da luz ambiente e Ka é o coeficiente de reflexão do material.
  • A reflexão depende do material da superfície (K_d), da intensidade da fonte de luz (I_p) e do ângulo entre a direção da fonte da luz e a normal à superfície (cos), sendo dada pela equação I_pK_dcos.
  • O modelo de iluminação composto pela luz ambiente pela reflexão é dado pela equação:

I =I_aK_{a +} I_pK_dcos, onde K_d é considerada igual para qualquer superfície.

• A direção da fonte da luz é definida a partir do azimute, a partir do Norte (eixo y), medido no sentido horário e do ângulo de elevação medido a partir do plano xy. O cosseno de (ângulo entre a normal à superfície e a direção da fonte de luz) é o produto escalar: cos = N . L , onde o vetor N é calculado a partir das derivadas parciais da grade retangular, constantes para cada célula e o vetor L é definido pela direção da fonte de luz.
• O exagero de relevo é utilizado para aumentar a escala vertical em relação à escala horizontal da imagem sombreada, possibilitando melhorar a visualização de formas e estruturas da superfície. Este exagero corresponde a um acréscimo na inclinação da superfície e é calculado a partir do fator f obtido em:

, onde:

• é o ângulo de inclinação da superfície
• z_i é o valor de elevação do i-ésimo ponto da grade.
• f é o valor do fator de exagero
• R é o valor do elemento de resolução da grade

O que são isolinhas?

• As isolinhas são curvas que unem entre si pontos da superfície que tenham o mesmo valor de cota. O significado do valor da cota depende da magnitude física da superfície que se pretende modelar. Assim para uma superfície que representa temperatura se obtém isotermas, para previsão atmosférica, as isóbaras; para altimetria do terreno, as curvas de níveis, etc.

Isolinhas de altimetria do terreno.

• As isolinhas podem ser visualizadas como sendo a projeção no plano xy das interseções entre a superfície e uma família de planos horizontais eqüidistantes.

Isolinhas de cota z obtidas pela projeção do plano xy.

• As curvas de isovalores possuem algumas propriedades importantes: todas são fechadas, a menos que interceptem as fronteiras de definição do mapa e nunca se cruzam.
• Isolinhas ou curvas de isovalores podem ser geradas a partir de um modelo numérico de terreno (MNT) na forma de grade retangular ou triangular utilizando o método das células. Neste método, para cada célula são geradas todas as curvas de isovalor que interceptam esta célula. Os segmentos de reta são armazenados para, em uma fase final, serem ligados formando uma curva fechada de isovalor (caso não atinjam a fronteira da região de interesse).

Isolinha gerada a partir de uma grade retangular.

O que é declividade?

• Declividade é a inclinação da superfície do terreno em relação ao plano horizontal. Considerando um modelo numérico de terreno (MNT) de dados altimétricos extraídos de uma carta topográfica e traçando um plano tangente a esta superfície num determinado ponto P, a declividade em neste ponto corresponde a inclinação deste plano em relação ao plano horizontal.
• Em algumas aplicações geológicas, geomorfológicas e outras, é necessário encontrar regiões pouco acidentadas ou regiões que estejam expostas ao sol durante um determinado período do dia. Para responder estas questões a declividade conta com duas componentes: o gradiente e a exposição.
• O gradiente é a taxa máxima de variação no valor da elevação, pode ser medido em grau (0 a 90) ou em porcentagem (%), e a exposição é a direção dessa variação medida em graus (0 a 360).
• O gradiente é dado pela equação:

Onde z é a altitude e x e y as coordenadas axiais.

• A exposição é dada pela equação:

• As duas componentes de declividade (gradiente e exposição) são calculadas a partir das derivadas parciais de primeira ordem obtidas da grade retangular ou triangular. Na grade retangular, em cada ponto desta grade são calculadas as derivadas parciais, computando-se os valores de altitude em uma janela de 3 x 3 pontos que se desloca sucessivamente sobre a grade. Em uma grade triangular, as derivadas parciais podem ser calculadas a partir dos 3 pontos que formam cada triângulo considerando uma modelagem por superfícies planas.

O que é um fatiamento?

• Consiste em gerar uma imagem temática a partir de uma grade retangular ou triangular. Os temas da imagem temática resultante correspondem a intervalos de valores de cotas, ou fatias.

Imagem temática fatiada.

• A definição dos intervalos de cotas ou fatias, dependerá da variação dos valores da grade que se deseja destacar. Uma imagem temática resultante do fatiamento da grade permite visualizar o modelo e ser utilizada em operações de análise como as booleanas do tipo cruzamento de dados temáticos.

O que é um perfil?

• Um dado do tipo MNT, como uma superfície topográfica, pode ser representada através de perfis que descrevem a elevação dos pontos ao longo de uma linha. O perfil é traçado a partir de uma trajetória definida pelo usuário ou a partir de linhas que correspondam a um dado de interesse como o possível traçado de uma nova estrada.

O que é volume?

• O cálculo do volume é efetuado considerando as áreas de interesse, ou seja polígonos fechados e grades retangulares ou triangulares do MNT. A partir de uma grade calcula-se o valor central de cada célula da grade, correspondente a altura, multiplicada pelo valor da área disponível. Dessa forma, o volume é dado pela seguinte equação: , onde
  • Ac = constante, é o valor da área correspondente à cada célula;
  • Zi = é o valor da altura de cada célula.
  • N = número de células
• O volume de corte e o volume de aterro são calculados considerando uma cota base. A parte superior da cota base corresponde ao volume de corte, enquanto a cota inferior ao volume de aterro. A cota ideal indica o valor onde o volume do desmonte a ser realizado na área de corte depositado na área de aterro mantém um equilíbrio de massas e é calculada por:

Como se visualiza o modelo em projeção?

• Com a projeção dos dados em três dimensões com a possibilidade de alterar a posição do observador, a partir do MNT e de uma imagem textura. O modelo define efeito de elevação da superfície e a imagem textura as cores da superfície.
• As seguintes projeções são utilizadas: Projeção paralela, perspectiva e Par-Estereoscópio.

O que é projeção paralela?

• Nesta projeção, a distância entre o plano de projeção e o centro de projeção é infinita. As linhas que são paralelas no modelo continuam paralelas. Uma vez que a distância do observador `a superfície é infinita, apenas os seguintes parâmetros são necessários:
  • Azimute - posição angular (em graus) do observador em relação ao Norte no sentido horário.
  • Elevação - posição angular (graus) do observador, em relação ao plano horizontal.

O que é projeção perspectiva?

• Ao contrário da paralela, a distância do centro de projeção ao plano de projeção é finito. As linhas paralelas não obedecerão ao paralelismo quando projetadas e os objetos mais próximos ao observador tendem a ser maiores que os mais distantes. Os seguintes parâmetros definem a posição do observador:
  • Posição do Observador - em coordenadas X, Y (em coordenadas planas) e z (valor da cota);
  • Azimute - posição angular (graus) do observador em relação ao Norte, no sentido horário.
  • Elevação - posição angular (graus) do observador, em relação ao plano horizontal;
  • Abertura - ângulo ocular do observador.

O que é projeção par estereoscópio:

• É composta por duas projeções paralelas, com uma distância entre os centros de projeção. Quando visualizados separadamente pelo olho direito e esquerdo permitem visão estereoscópica da área. Além dos parâmetros do observador definidos para a projeção paralela, necessita de:
  • Distância entre as projeções - distância entre as duas imagens.