Produtos Notáveis

Produtos notáveis (32 Identidades)

1. Quadrado da soma de dois termos

(a+b)² = a² + b² + 2ab

Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4

2. Quadrado da diferença de dois termos

(a-b)² = a² + b² - 2ab

Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5

3. Diferença de potências (ordem 2)

a² - b² = (a+b)(a-b)

Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)

4. Cubo da soma de dois termos

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³

5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada

(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²

Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²

6. Cubo da diferença de dois termos

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³

7. Identidade de Fibonacci

(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²

Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²

8. Identidade de Platão

(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²

Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²

9. Identidade de Lagrange (4 termos)

(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²

Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²

10. Identidade de Lagrange (6 termos)

(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²

Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²

11. Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)

Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)

12. Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)⁵ - a⁵ - b⁵ = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)

Exemplo: (1+2)⁵-1⁵-2⁵=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)

13. Quadrado da soma de n termos

sendo que i<j.

Exemplos:

(a+b)²=a²+b²+2(ab)

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

14. Cubo da soma de n termos

sendo que i<j e i<j<k.

15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9

16. Soma dos quadrados da soma e da diferença

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)

Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)

17. Soma de dois cubos

a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)

18. Soma de dois cubos na forma fatorada

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)

19. Transformação do produto na diferença de quadrados

ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²

Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²

20. Diferença de potências (ordem 4)

a⁴-b⁴ = (a-b)(a+b)(a²+b²)

Exemplo: 5⁴-1⁴=(5-1)(5+1)(5²+1²)

21. Diferença de potências (ordem 6)

a⁶-b⁶ = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)

Exemplo: 5⁶-1⁶=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)

22. Diferença de potências (ordem 8)

a⁸ - b⁸ = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)

Exemplo: 5⁸-1⁸=(5-1)(5+1)(5²+1²)(5⁴+1⁴)

23. Produto de três diferenças

(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)

Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)

24. Produto de três somas

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc

Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5

25. Soma de cubos das diferenças de três termos

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)

26. Cubo da soma de três termos

(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc

Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9

27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças

a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0

Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0

28. Soma de produtos de cubos com diferenças

a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)

Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)

29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois

(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a⁴+a² b²+b⁴

Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=5⁴+5² 7²+7⁴

30. Soma de quadrados de somas de dois termos

(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²

Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²

31. Produto de quadrados de fatores especiais

(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a⁴-b⁴)²

Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(7⁴-3⁴)²

32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1

(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)

Exemplo:

(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)