Máximo Divisor Comum (M.D.C)

Máximo Divisor Comum

  Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

        Alguns exemplos:
         mdc (6,12) = 6
         mdc (12,20) = 4
         mdc (20,24) = 4
         mdc (12,20,24) = 4
         mdc (6,12,15) = 3

• CÁLCULO DO M.D.C.

            Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =       2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns =>   m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2² x 3²
90 = 2  x 3² x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

            Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

    Regra prática:

    1º) dividimos o número maior pelo número menor;
            48 / 30 = 1 (com resto 18)

    2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
            30 / 18 = 1 (com resto 12)

            18 / 12 = 1 (com resto 6)

            12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

    3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

        Exemplos:
         Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
         Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.  

• PROPRIEDADE DO M.D.C.

         Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

  6 = 2 x 3
18 = 2 x 3²
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.