Método de Tartaglia para obter raízes de equação do 3o. grau

Método de Tartaglia para obter raízes de equação do 3o. grau

Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia. Detalhes históricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia no final desta página.

Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:

a x³ + b x² + c x + d = 0

e se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:

x³ + (b/a) x² + (c/a) x + (d/a) = 0

e assim iremos considerar só as equações em que o coeficiente de x³ seja igual a 1, isto é, equações da forma geral:

x³ + A x² + B x + C = 0

onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituição de translação:

x = y-A/3

na equação acima, obteremos:

y³ + (B-A²/3) y + (C-AB/3+2A³/27) = 0

e tomando p=(B-A²/3) e q=C-AB/3+(2/27)A³, poderemos simplificar a equação do terceiro grau na variável y, para:

y³ + p y + q = 0

Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuraremos esta raiz na forma y=u+v. Substituindo y por u+v, na última equação, obteremos:

(u+v)³ + p(u+v) + q = 0

o que equivale a

u³ + v³ + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0

ou seja

u³ + v³ + (3uv+p)(u+v) + q = 0

Usando esta última equação e impondo a condição para que:

p = -3uv   e   q= -(u³+v³)

obteremos valores de u e v para os quais y=u+v deverá ser uma raiz da equação. Estas últimas condições implicam que:

u³ v³=-p³/27   e   u³+v³ = -q

Considerando u³ e v³ como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do 2o. grau da forma:

z² - S z + P = 0

onde

S = soma das raízes = u³ + v³
P = produto das raízes = u³ v³

Resolveremos agora a equação do 2o. grau:

z² + q z - p³/27 = 0

para obter as partes u e v da primeira raiz:

r₁ = u + v

Com o discriminante desta última equação, definido por:

D = q²/4 + p³/27

e utilizando a fórmula de Bhaskara (o próprio Bhaskara relatou em um trabalho, que não é de sua autoria a fórmula, mas do matemático hindu Sridhara), obtemos:

u³ = -q/2 + D^½
v³ = -q/2 - D^½

A primeira raiz r₁ da equação original

x³ + A x² + B x + C = 0

depende da translação realizada no início e será dada por:

r₁ = u + v - A/3

Como r₁ é uma raiz, utilizaremos a divisão

(x³ + A x² + B x + C)/(x-r₁)

para obter a polinomial de segundo grau:

p(x) = x² + (A+r₁)x - C/r₁

com o resto da divisão igual a:

Resto = r₁³ + A r₁² + B r₁ + C

que será nulo ou muito próximo de zero se o valor for aproximado.

Os zeros desta equação do segundo grau, podem ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependem do valor D que é o discriminante desta última polinomial.

Pela análise destes valores, conheceremos as características das raízes da equação x³+Ax²+Bx+C=0.

Discriminante	Detalhes sobre as raízes da equação
D=0	3 raízes reais, sendo duas iguais
D>0	1 raiz real e 2 raízes complexas conjugadas
D<0	3 raízes reais distintas

A construção das raizes não é simples e consideraremos duas possibilidades: D negativo ou D não negativo.

Situação D<0: Calcularemos os valores:

1.   E=(-D)^½

2.   r=(q²/4 +E²)^½

3.   t =arccos(-q/2r)

sendo as três raízes reais dadas por:

r1 = 2 r^1/3cos(t/3) - A/3         
r2 = 2 r^1/3cos((t+2pi)/3)) - A/3
r3 = 2 r^1/3cos((t+4pi)/3)) - A/3

Situação D>0: Calcularemos os valores:

1.   E = D^½

2.   u3 = -q/2 + E

3.   v3 = -q/2 - E

4.   u = (u3)^1/3

5.   v = (v3)^1/3

sendo que a primeira raiz será:

r1 = u + v - A/3

Para obter as outras raizes, construímos outra constante:

d2 = (A+r1)² + 4C/r1

e consideramos duas possibilidades sobre d2:

a.   Se d2 é negativo:

r2 = -(A+r1)/2 + ½(-d2)^½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(-d2)^½

b.   Se d2 é não negativo:

r2 = -(A+r1)/2 + ½(d2)^½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(d2)^½

Exercício: Usando os passos acima expostos, resolver as equações:

1.   x³-6x-9=0

2.   x³-6x-40=0

3.   x³+3x+2=0

4.   x³-3x-2=0

5.   x³-6x-4=0

6.   x³+2x²-8x+5=0

Cálculo rápido

Para resolver estas equações rapidamente, vá ao link Raízes de uma equação do 3o. grau. O código fonte está escrito na linguagem JavaScript e pode ser usado no meio científico desde com a citação da fonte, que segue exatamente o método algébrico exposto aqui.

Referências bibliográficas

1.   O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1997.

2.   A Equação do Terceiro Grau, Elon Lages Lima, Revista Matemática Universitária, No.5, Junho/1987.