A Função Exponencial

A função exponencial

A função exponencial natural é a função exp:RR+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x,    exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0   se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1   se x=0
4. exp(x)>1   se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.

Exemplos:

1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)^1/2]=(x+1)^1/2
4. exp[Ln((x+1)^1/2]=(x+1)^1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(x^k)]=x^k
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]⁷)=(3/4)⁷

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

e^x = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]^k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

1. exp[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(2⁵)]=2⁵=32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=a^x, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=a^r na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

a^r=exp[Ln(a^r)]

Como Ln[a^r]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

a^r = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=a^x, onde x é um número real:

a^x=exp[x.Ln(a)]

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

1. a^xa^y=a^x+y
2. a^x/a^y=a^x-y
3. (a^x) ^y=a^x.y
4. (a b)^x=a^xb^x
5. (a/b)^x=a^x/b^x
6. a^-x=1/a^x

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

e^ix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C e^{A t}

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)²¹

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e^-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e^-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e^-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=N_o e^rt

onde N_o é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de N_o e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Ke^x.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=N_oe^rt. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então N_o=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 e^r12

logo

e^12r=600/200=3

assim

ln(e^12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e^{48.(0,0915510)} = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, N_o o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = N_o e^-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=N_o/2 para t=T, temos

N_o/2 = N_o e^-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Substância	Meia-vida T
Xenônio 133	5 dias
Bário 140	13 dias
Chumbo 210	22 anos
Estrôncio 90	25 anos
Carbono 14	5.568 anos
Plutônio	23.103 anos
Urânio 238	4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano